Dadas as seguintes funções: (i) f(x, y)=ln (x+y-1), (ii) f(x, y)=x^2 e^3 x y, (iii) f(x, y)=raiz1+x-y^2, (iv) f(x, y)=e^raizx^2-y^2 e (v) f(x, y)=ln (25-x^2-y^2).
Determine sua imagem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a imagem de cinco funções diferentes. A imagem de uma função é basicamente o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Para isso, vamos analisar cada função individualmente, verificando quais valores de saída são possíveis com base nas restrições matemáticas de cada uma.

Passo 2

Função (i): f(x, y) = ln(x + y - 1)
Primeiro, precisamos lembrar que o logaritmo natural ln(z) está definido apenas para z > 0 . Então, para que f(x, y) exista, a expressão dentro do logaritmo deve ser positiva:
x + y - 1 > 0 implies x + y > 1
Agora, como ln(z) pode assumir todos os valores reais quando z > 0 , a imagem dessa função é:
Ima>=m(f) = R

Passo 3

Função (ii): f(x, y) = x^2 e^3xy
Vamos analisar os componentes:
  • x^2 é sempre não negativo, ou seja, x^2 >= 0 .
  • e^3xy é sempre positivo, pois a função exponencial nunca é zero ou negativa.
Multiplicando os dois termos:
f(x, y) = x^2 e^3xy >= 0
Além disso, f(x, y) pode assumir qualquer valor real não negativo, já que x e y podem variar para fazer f(x, y) tender a qualquer número positivo ou a zero.
Portanto, a imagem dessa função é:
Ima>=m(f) = [0, +infty)

Passo 4

Função (iii): f(x, y) = raiz1 + x - y^2
Para a raiz quadrada estar definida, o radicando deve ser não negativo:
1 + x - y^2 >= 0 implies x >= y^2 - 1
A raiz quadrada sempre retorna valores não negativos. Além disso, como x e y podem variar de forma que 1 + x - y^2 tome qualquer valor não negativo, a imagem dessa função é:
Ima>=m(f) = [0, +infty)

Passo 5

Função (iv): f(x, y) = e^raizx^2 - y^2
Primeiro, a expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa:
x^2 - y^2 >= 0 implies |x| >= |y|
A raiz quadrada retorna valores não negativos, e a função exponencial está sempre definida e positiva. Assim, f(x, y) pode assumir qualquer valor maior ou igual a 1, já que e^0 = 1 e cresce exponencialmente a partir daí.
Portanto, a imagem dessa função é:
Ima>=m(f) = [1, +infty)

Passo 6

Função (v): f(x, y) = ln(25 - x^2 - y^2)
Para o logaritmo estar definido:
25 - x^2 - y^2 > 0 implies x^2 + y^2 < 25
Isso descreve o interior de um círculo com raio 5 no plano xy .
A expressão dentro do logaritmo varia de 0 a 25 , então ln(z) variará de -infty a ln(25) .
Portanto, a imagem dessa função é:
Ima>=m(f) = (-infty, ln(25))

Resposta

A imagem das funções dadas é:
  1. f(x, y) = ln(x + y - 1) tem imagem R .
  2. f(x, y) = x^2 e^3xy tem imagem [0, +infty) .
  3. f(x, y) = raiz1 + x - y^2 tem imagem [0, +infty) .
  4. f(x, y) = e^raizx^2 - y^2 tem imagem [1, +infty) .
  5. f(x, y) = ln(25 - x^2 - y^2) tem imagem (-infty, ln(25)) .

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