Dadas as seguintes funções: (i)
, (ii)
, (iii)
, (iv)
(v)
.
Determine sua imagem.
Determine sua imagem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a imagem de cinco funções diferentes. A imagem de uma função é basicamente o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Para isso, vamos analisar cada função individualmente, verificando quais valores de saída são possíveis com base nas restrições matemáticas de cada uma.
Passo 2
Função (i):
Primeiro, precisamos lembrar que o logaritmo natural
está definido apenas para
. Então, para que
exista, a expressão dentro do logaritmo deve ser positiva:
Agora, como
pode assumir todos os valores reais quando
, a imagem dessa função é:
Passo 3
Função (ii):
Vamos analisar os componentes:
-
é sempre não negativo, ou seja, . -
é sempre positivo, pois a função exponencial nunca é zero ou negativa.
Multiplicando os dois termos:
Além disso,
pode assumir qualquer valor real não negativo, já que
e
podem variar para fazer
tender a qualquer número positivo ou a zero.
Portanto, a imagem dessa função é:
Passo 4
Função (iii):
Para a raiz quadrada estar definida, o radicando deve ser não negativo:
A raiz quadrada sempre retorna valores não negativos. Além disso, como
e
podem variar de forma que
tome qualquer valor não negativo, a imagem dessa função é:
Passo 5
Função (iv):
Primeiro, a expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa:
A raiz quadrada retorna valores não negativos, e a função exponencial está sempre definida e positiva. Assim,
pode assumir qualquer valor maior ou igual a 1, já que
e cresce exponencialmente a partir daí.
Portanto, a imagem dessa função é:
Passo 6
Função (v):
Para o logaritmo estar definido:
Isso descreve o interior de um círculo com raio 5 no plano
.
A expressão dentro do logaritmo varia de
a
, então
variará de
a
.
Portanto, a imagem dessa função é:
Resposta
A imagem das funções dadas é:
-
tem imagem . -
tem imagem . -
tem imagem . -
tem imagem . -
tem imagem .