Dadas as seguintes informações, determine a função f(x).
f^prime prime(x)=15 raizx+5 x^3+6, f(1)=7, f(0)=14.

Passo 1

O enunciado dá a segunda derivada
f''(x)=15raizx+5x^3+6
e pede a primitiva f(x) que satisfaz as condições f(1)=7 e f(0)=tfrac14.
Vamos integrar duas vezes e depois usar as condições iniciais para achar as constantes de integração.

Passo 2

Integrando f''(x) para obter f'(x):
integral x^1/2dx=tfrac23x^3/2,
integral x^3dx=tfrac14x^4,
integral dx=x.
Logo,
f'(x) =15cdot23x^3/2+5cdot14x^4+6x+C1 =10x^3/2+54x^4+6x+C1

Passo 3

Agora integramos f'(x) para obter f(x):
integral x^3/2dx=tfrac25x^5/2,
integral x^4dx=tfrac15x^5,
integral xdx=tfrac12x^2.
Assim,
f(x) =10cdot25x^5/2 +54cdot15x^5 +6cdot12x^2 +C1x+C2 =4x^5/2+14x^5+3x^2+C1x+C2

Passo 4

Usamos f(0)=tfrac14. Substituindo x=0 em
f(0)=C2,
vemos que
C2=14

Passo 5

Usamos f(1)=7. Substituindo x=1 em
f(1)=4+14+3+C1+14 =7+l(tfrac14+tfrac14r)+C1 =7+12+C1,
e igualando a 7 obtemos
C1+12=0 Longrightarrow C1=-12

Passo 6

Substituindo C1=-tfrac12 e C2=tfrac14 em
f(x)=4x^5/2+14x^5+3x^2+C1x+C2,
chegamos a
f(x)=4x^5/2+14x^5+3x^2-12x+14

Resposta

f(x)=4x^5/2+14x^5+3x^2-12x+14

Exercícios relacionados