1. Dadas as séries \sum a_{n} e \sum b_{n}, com a_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} e b_{n}= \log \left(1+\frac{1}{n}\right), mostre que \lim a_{n}=\lim b_{n}=0. Calcule explicitamente as n-ésimas reduzidas s_{n} e t_{n} destas séries e mostre que \lim s_{n}= \lim t_{n}=+\infty, logo as séries dadas são divergentes.

Passo 1

O enunciado pede para as séries \sum a_{n} e \sum b_{n}, com
a_{n} = \sqrt{n+1}-\sqrt{n},
b_{n} = \log\!\Bigl(1+\tfrac{1}{n}\Bigr),
mostrar que \lim a_{n}=\lim b_{n}=0, calcular as somas parciais
\displaystyle s_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k} e \displaystyle t_{n}=\sum_{k=1}^{n}b_{k} e concluir que \lim s_{n}=\lim t_{n}=+\infty, logo ambas divergem. Vamos usar limites elementares, racionalização para a_{n} e propriedades de logaritmo para b_{n}.

Passo 2

Calcular \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}. Escrevendo
\sqrt{n+1}-\sqrt{n} =\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} =\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}},
e como \sqrt{n+1}+\sqrt{n}\to+\infty, segue
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} =0.

Passo 3

Calcular \displaystyle \lim_{n\to\infty}b_{n}. Como \tfrac1n\to0 e a função \log(1+x) é contínua em x=0, temos
\lim_{n\to\infty}b_{n} =\lim_{n\to\infty}\log\!\Bigl(1+\tfrac{1}{n}\Bigr) =\log(1+0) =0.

Passo 4

Calcular a soma parcial \displaystyle s_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}. Como é telescópica,
s_{n} =\sum_{k=1}^{n}\bigl(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\bigr) =\bigl(\sqrt{2}-\sqrt{1}\bigr) +\bigl(\sqrt{3}-\sqrt{2}\bigr) +\cdots +\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr),
os termos intermediários cancelam e sobra
s_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{1}=\sqrt{n+1}-1.

Passo 5

Verificar \displaystyle \lim_{n\to\infty}s_{n}. Como \sqrt{n+1}\to+\infty, segue
\lim_{n\to\infty}s_{n} =\lim_{n\to\infty}\bigl(\sqrt{n+1}-1\bigr) =+\infty,
logo \sum a_{n} diverge.

Passo 6

Calcular a soma parcial \displaystyle t_{n}=\sum_{k=1}^{n}b_{k}. Usando propriedade de logaritmo,
t_{n} =\sum_{k=1}^{n}\log\!\Bigl(1+\tfrac{1}{k}\Bigr) =\log\!\prod_{k=1}^{n}\Bigl(1+\tfrac{1}{k}\Bigr) =\log\!\Bigl(\tfrac{2}{1}\cdot\tfrac{3}{2}\cdot\ldots\cdot\tfrac{n+1}{n}\Bigr) =\log(n+1).

Passo 7

Verificar \displaystyle \lim_{n\to\infty}t_{n}. Como \log(n+1)\to+\infty, segue
\lim_{n\to\infty}t_{n} =+\infty,
logo \sum b_{n} também diverge.

Resposta

Mostramos que
\lim a_{n}=\lim b_{n}=0,
\displaystyle s_{n}=\sqrt{n+1}-1\to+\infty e
\displaystyle t_{n}=\log(n+1)\to+\infty. Portanto, ambas as séries são divergentes.

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