- Dadas as séries
e
, com
e
, mostre que
. Calcule explicitamente as
-ésimas reduzidas
e
destas séries e mostre que
, logo as séries dadas são divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para as séries
e
, com
mostrar que
, calcular as somas parciais
e
e concluir que
, logo ambas divergem. Vamos usar limites elementares, racionalização para
e propriedades de logaritmo para
.
Passo 2
Calcular
. Escrevendo
e como
, segue
Passo 3
Calcular
. Como
e a função
é contínua em
, temos
Passo 4
Calcular a soma parcial
. Como é telescópica,
os termos intermediários cancelam e sobra
Passo 5
Verificar
. Como
, segue
logo
diverge.
Passo 6
Calcular a soma parcial
. Usando propriedade de logaritmo,
Passo 7
Verificar
. Como
, segue
logo
também diverge.
Resposta
Mostramos que
,
e
. Portanto, ambas as séries são divergentes.