1. Prove que se todos os pontos do conjunto X \subset \mathbb{R} são isolados então pode-se escolher, para cada x \in X, um intervalo aberto I_{x}, de centro x, tal que x \neq y \Rightarrow I_{x} \cap I_{y}=\varnothing.

Passo 1

O enunciado pede provar que, dado X\subset\mathbb{R} em que todo ponto é isolado, podemos achar para cada x\in X um intervalo aberto I_x, centrado em x, de modo que x\neq y\implies I_x\cap I_y=\varnothing. O conteúdo envolve usar a definição de ponto isolado (uma vizinhança que não contém outros pontos de X) e construir radii suficientes pequenos para garantir disjunção de intervalos.

Passo 2

Como x é isolado, existe r>0 tal que
(x-r,\;x+r)\,\cap X=\{x\}.
Defina
\delta_x=\sup\bigl\{r>0\mid (x-r,x+r)\cap X=\{x\}\bigr\}.
Pelo isolamento, \delta_x>0. Agora ponha
r_x=\frac{\delta_x}{2}, \qquad I_x=(x-r_x,\;x+r_x).

Passo 3

Se y\in X e y\neq x, então por definição de \delta_x temos \lvert y-x\rvert\ge\delta_x. Assim \lvert y-x\rvert>r_x, o que implica y\notin I_x. Logo
I_x\cap X=\{x\}.

Passo 4

Para x\neq y, suponha por absurdo que exista z\in I_x\cap I_y. Então
|x-y|\le |x-z|+|z-y|<r_x+r_y=\frac{\delta_x+\delta_y}{2}.
Por outro lado, como y é outro ponto de X, temos \delta_x\le|x-y| e \delta_y\le|x-y|. Assim
\frac{\delta_x+\delta_y}{2}\le|x-y|,
então chegaríamos a
|x-y|<|x-y|,
contradição. Portanto I_x\cap I_y=\varnothing.

Resposta

Para cada x\in X defina
\delta_x=\sup\{r>0\mid (x-r,x+r)\cap X=\{x\}\}, \qquad r_x=\tfrac{\delta_x}{2}, \qquad I_x=(x-r_x,\;x+r_x).
Então cada I_x é aberto, contém só x de X e satisfaz x\neq y\implies I_x\cap I_y=\varnothing.

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