- Prove que se todos os pontos do conjunto
são isolados então pode-se escolher, para cada
, um intervalo aberto
, de centro
, tal que
.
Passo 1
O enunciado pede provar que, dado
em que todo ponto é isolado, podemos achar para cada
um intervalo aberto
, centrado em
, de modo que
. O conteúdo envolve usar a definição de ponto isolado (uma vizinhança que não contém outros pontos de
) e construir radii suficientes pequenos para garantir disjunção de intervalos.
Passo 2
Como
é isolado, existe
tal que
Defina
Pelo isolamento,
. Agora ponha
Passo 3
Se
e
, então por definição de
temos
. Assim
, o que implica
. Logo
Passo 4
Para
, suponha por absurdo que exista
. Então
Por outro lado, como
é outro ponto de
, temos
e
. Assim
então chegaríamos a
contradição. Portanto
.
Resposta
Para cada
defina
Então cada
é aberto, contém só
de
e satisfaz
.