2.) Prove que uma reunião finita e uma interseção arbitrária de conjuntos compactos é um conjunto compacto.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas propriedades de espaços métricos (ou topológicos em que todo conjunto compacto é fechado):
  1. A união finita de conjuntos compactos é compacta.
  2. A interseção arbitrária de conjuntos compactos é compacta.
Conteúdo que vamos usar:
  • Definição de compacto via cobertura por abertos: um conjunto K é compacto se, de toda cobertura aberta de K, podemos extrair uma subcobertura finita.
  • Em espaços métricos, todo conjunto compacto é fechado.
  • Subconjunto fechado de espaço compacto é compacto.

Passo 2

(Prova da união finita)
Sejam K_1,\dots,K_n conjuntos compactos e seja
\{U_\alpha\}_{\alpha\in A} uma cobertura aberta de K = K_1\cup\cdots\cup K_n.
Então para cada i=1,\dots,n temos
K_i\subseteq \bigcup_{\alpha\in A}U_\alpha.
Como K_i é compacto, existe um índice finito \alpha_{i1},\dots,\alpha_{i m_i} tal que
K_i\subseteq U_{\alpha_{i1}}\cup\cdots\cup U_{\alpha_{i m_i}}.
Fazendo isso para cada i, unindo todas essas escolhas finitas obtemos um conjunto finito de abertos
\{U_{\alpha_{ij}}\mid 1\le i\le n,\;1\le j\le m_i\}
que ainda cobre cada K_i e, portanto, cobre K=\bigcup_{i=1}^nK_i. Concluímos que K é compacto.

Passo 3

(Prova da interseção arbitrária)
Seja \{K_i\}_{i\in I} uma família arbitrária de conjuntos compactos e seja
K=\bigcap_{i\in I}K_i.
Em espaços métricos (ou em qualquer espaço onde compatos são fechados), cada K_i é fechado. Como interseção arbitrária de fechados é fechada, K é fechado. Além disso, para qualquer índice i_0\in I temos
K \subseteq K_{i_0},
e K_{i_0} é compacto. Um subconjunto fechado de um conjunto compacto é compacto. Logo, K é compacto.

Resposta

A união finita de conjuntos compactos é compacta, e a interseção arbitrária de conjuntos compactos é compacta.

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