2.) Prove que uma reunião finita e uma interseção arbitrária de conjuntos compactos é um conjunto compacto.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas propriedades de espaços métricos (ou topológicos em que todo conjunto compacto é fechado):
- A união finita de conjuntos compactos é compacta.
- A interseção arbitrária de conjuntos compactos é compacta.
Conteúdo que vamos usar:
- Definição de compacto via cobertura por abertos: um conjunto
é compacto se, de toda cobertura aberta de , podemos extrair uma subcobertura finita. - Em espaços métricos, todo conjunto compacto é fechado.
- Subconjunto fechado de espaço compacto é compacto.
Passo 2
(Prova da união finita)
Sejam conjuntos compactos e seja
uma cobertura aberta de
.
Então para cada temos
Sejam
Então para cada
Como
é compacto, existe um índice finito
tal que
Fazendo isso para cada
, unindo todas essas escolhas finitas obtemos um conjunto finito de abertos
que ainda cobre cada
e, portanto, cobre
. Concluímos que
é compacto.
Passo 3
(Prova da interseção arbitrária)
Seja uma família arbitrária de conjuntos compactos e seja
Seja
Em espaços métricos (ou em qualquer espaço onde compatos são fechados), cada
é fechado. Como interseção arbitrária de fechados é fechada,
é fechado. Além disso, para qualquer índice
temos
e
é compacto. Um subconjunto fechado de um conjunto compacto é compacto. Logo,
é compacto.
Resposta
A união finita de conjuntos compactos é compacta, e a interseção arbitrária de conjuntos compactos é compacta.