1. Prove que o conjunto A dos valores de aderência de uma seqüência \left(x_{n}\right) é fechado. Se a seqüência for limitada, A é compacto, logo existem l e L, respectivamente o menor e o maior valor de aderência da seqüência limitada \left(x_{n}\right). Costuma-se escrever l=\liminf x_{n} e L=\limsup x_{n}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre o conjunto A de valores de aderência (ou pontos de acumulação) de uma sequência \bigl(x_n\bigr):
1. A é um conjunto fechado.
2. Se \bigl(x_n\bigr) for limitada, então A é compacto e, em particular, existem
l = \min A,\quad L = \max A,
que chamamos de \liminf x_n e \limsup x_n.
Para isso vamos usar definição de valor de aderência via subsequências e propriedades de conjuntos fechados e compactos em \mathbb{R}.

Passo 2

Definição de valor de aderência:
y \in A se, e somente se, existe uma subsequência \bigl(x_{n_k}\bigr) tal que
x_{n_k} \longrightarrow y \quad \text{quando } k \to \infty.

Passo 3

Provar que A é fechado.
Em \mathbb{R}, basta mostrar que A é sequencialmente fechado: se \bigl(y_m\bigr)\subset A e y_m\to y, então y\in A.
Como cada y_m\in A, existe uma subsequência \bigl(x_{n_k^{(m)}}\bigr) convergente a y_m. Usamos um argumento diagonal: para m=1 escolhemos k_1 tal que
|x_{n_{k_1}^{(1)}} - y_1| < 1.
Para m=2 escolhemos k_2>k_1 tal que
|x_{n_{k_2}^{(2)}} - y_2| < \tfrac12,
e assim por diante. Definimos a sequência diagonal
x_{m}^* = x_{\,n_{k_m}^{(m)}}.
Então
|x^*_m - y| \;\le\; |x^*_m - y_m| + |y_m - y| \;<\; \tfrac1m + |y_m-y|.
Como y_m\to y e \frac1m\to0, segue x^*_m\to y. Logo y é limite de uma subsequência de \bigl(x_n\bigr), ou seja y\in A. Assim A é fechado.

Passo 4

Se \bigl(x_n\bigr) for limitada, então todos os seus pontos de aderência também são limitados, de modo que
A \subseteq [\inf_n x_n,\;\sup_n x_n],
que é um intervalo fechado e limitado em \mathbb{R}. Um subconjunto fechado de um compacto é compacto. Como A já é fechado (Passo 3), concluímos que A é compacto.

Passo 5

Em \mathbb{R}, todo conjunto compacto não vazio tem mínimo e máximo. Logo existem
l = \min A, \qquad L = \max A.
Por convenção chamamos
l = \liminf_{n\to\infty} x_n, \qquad L = \limsup_{n\to\infty} x_n.

Resposta

O conjunto de valores de aderência A é fechado. Se a sequência \bigl(x_n\bigr) for limitada, então A é compacto e, portanto, existem
l = \min A = \liminf_{n\to\infty} x_n, \qquad L = \max A = \limsup_{n\to\infty} x_n.

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