- Prove que o conjunto
dos valores de aderência de uma seqüência
é fechado. Se a seqüência for limitada,
é compacto, logo existem
e
, respectivamente o menor e o maior valor de aderência da seqüência limitada
. Costuma-se escrever
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre o conjunto
de valores de aderência (ou pontos de acumulação) de uma sequência
:
.
é um conjunto fechado.
. Se
for limitada, então
é compacto e, em particular, existem
que chamamos de
e
.
Para isso vamos usar definição de valor de aderência via subsequências e propriedades de conjuntos fechados e compactos em .
Para isso vamos usar definição de valor de aderência via subsequências e propriedades de conjuntos fechados e compactos em
Passo 2
Definição de valor de aderência:
se, e somente se, existe uma subsequência
tal que
Passo 3
Provar que
é fechado.
Em , basta mostrar que
é sequencialmente fechado: se
e
, então
.
Em
Como cada
, existe uma subsequência
convergente a
. Usamos um argumento diagonal: para
escolhemos
tal que
Para
escolhemos
tal que
e assim por diante. Definimos a sequência diagonal
Então
Como
e
, segue
. Logo
é limite de uma subsequência de
, ou seja
. Assim
é fechado.
Passo 4
Se
for limitada, então todos os seus pontos de aderência também são limitados, de modo que
que é um intervalo fechado e limitado em
. Um subconjunto fechado de um compacto é compacto. Como
já é fechado (Passo
), concluímos que
é compacto.
Passo 5
Em
, todo conjunto compacto não vazio tem mínimo e máximo. Logo existem
Por convenção chamamos
Resposta
O conjunto de valores de aderência
é fechado. Se a sequência
for limitada, então
é compacto e, portanto, existem