1. Prove que toda coleção de intervalos não-degenerados dois a dois disjuntos é enumerável.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se \mathcal{C} é uma família de intervalos em \mathbb{R} tais que cada intervalo tem comprimento positivo (ou seja, é não-degenerado) e quaisquer dois desses intervalos são disjuntos, então \mathcal{C} é numerável (ou seja, finita ou enumerável). Vamos usar ideias de teoria de conjuntos (densidade dos racionais e injeções entre conjuntos).

Passo 2

Pela densidade de \mathbb{Q} em \mathbb{R}, todo intervalo não-degenerado I\subset\mathbb{R} contém ao menos um racional. Formalmente, para cada I\in\mathcal{C} existe um número racional
q_I\in\mathbb{Q}\cap I.
Escolhendo arbitrariamente um desses racionais para cada I, definimos uma função
f:\mathcal{C}\;\longrightarrow\;\mathbb{Q}, \qquad f(I)=q_I.
Como os intervalos em \mathcal{C} são dois a dois disjuntos, dois intervalos distintos não podem conter o mesmo racional. Logo f é injetora.

Passo 3

Sabemos que \mathbb{Q} é numerável e que todo subconjunto de um conjunto numerável também é numerável (ou finito). Como existe uma injeção f:\mathcal{C}\to\mathbb{Q}, concluímos que \mathcal{C} é numerável.

Resposta

A família \mathcal{C} de intervalos não-degenerados e dois a dois disjuntos é enumerável.

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