- Prove que toda coleção de intervalos não-degenerados dois a dois disjuntos é enumerável.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é uma família de intervalos em
tais que cada intervalo tem comprimento positivo (ou seja, é não-degenerado) e quaisquer dois desses intervalos são disjuntos, então
é numerável (ou seja, finita ou enumerável). Vamos usar ideias de teoria de conjuntos (densidade dos racionais e injeções entre conjuntos).
Passo 2
Pela densidade de
em
, todo intervalo não-degenerado
contém ao menos um racional. Formalmente, para cada
existe um número racional
Escolhendo arbitrariamente um desses racionais para cada
, definimos uma função
Como os intervalos em
são dois a dois disjuntos, dois intervalos distintos não podem conter o mesmo racional. Logo
é injetora.
Passo 3
Sabemos que
é numerável e que todo subconjunto de um conjunto numerável também é numerável (ou finito). Como existe uma injeção
, concluímos que
é numerável.
Resposta
A família
de intervalos não-degenerados e dois a dois disjuntos é enumerável.