Dadas as transformações lineares T e S, calcule S circ T.
T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x+y-z, 2 x+y-3 z,-x+y+z) e S: R^3 R^2 dada por S(x, y, z)=(-x-2 y+3 z, 4 x+z).

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares em coordenadas de R^3:
T(x,y,z) = (x+y-z,;2x+y-3z,;-x+y+z) e
S(u,v,w) = (-u-2v+3w,;4u+w).
Queremos a composição Scirc T, isto é
(Scirc T)(x,y,z) ;=; Sl(T(x,y,z)r)

Passo 2

Definimos intermediarmente
(u,v,w) ;=; T(x,y,z) ;=;l(x+y-z,;2x+y-3z,;-x+y+zr)

Passo 3

Agora aplicamos S sobre (u,v,w). Por definição,
S(u,v,w)=l(-u - 2v + 3w,;4u + wr)

Passo 4

Substituímos u=x+y-z, v=2x+y-3z e w=-x+y+z na primeira componente de S(u,v,w):
-u - 2v + 3w = -(x+y-z);-;2(2x+y-3z);+;3(-x+y+z)
Calculando termo a termo:
-(x+y-z) = -x -y + z, -2(2x+y-3z) = -4x -2y +6z, 3(-x+y+z)= -3x +3y +3z
Somando:
-x -y +z ;+;(-4x -2y +6z);+;(-3x +3y +3z) = -8x +0y +10z

Passo 5

Agora a segunda componente:
4u + w = 4(x+y-z) ;+;(-x+y+z) = (4x+4y-4z) +(-x+y+z) = 3x +5y -3z

Resposta

(Scirc T)(x,y,z) =l(-8x+10z,;3x+5y-3zr)

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