Dadas as transformações lineares T e S, calcule S circ T.
T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(x+y, x-2 y) e S: R^2 R^2 dada por S(x, y)=(-x+2 y, x+y).

Passo 1

O enunciado pede a composição de transformações lineares
;Tcolon R^2to R^2 dada por
T(x,y) = (x+y,;x-2y)
e ;Scolon R^2to R^2 dada por
S(u,v) = (-u+2v,;u+v)
O que queremos é
Scirc Tcolon (x,y)mapsto Sl(T(x,y)r)

Passo 2

Seja
(u,v) = T(x,y) = (x+y,;x-2y)
Logo u = x+y e v = x-2y.

Passo 3

Agora aplicamos S ao par (u,v):
S(u,v) = l(-u + 2v,;u + vr)

Passo 4

Substituímos u = x+y e v = x-2y em cada componente:
Primeiro componente:
-u + 2v = -(x+y) + 2,(x-2y) = -x - y + 2x - 4y
Segundo componente:
u + v = (x+y) + (x-2y) = x + y + x - 2y

Passo 5

Simplificando cada expressão:
-x - y + 2x - 4y = x - 5y,
x + y + x - 2y = 2x - y
Portanto
Sl(T(x,y)r) = (,x - 5y,;2x - y,)

Resposta

Scirc T(x,y) = (,x - 5y,;2x - y,)

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