Prove que a seguinte transformação linear é um isomorfismo e determine sua inversa.
T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x+y+z, 2 x+y+3 z,-x+y-2 z).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a transformação linear
TcolonR^3toR^3, T(x,y,z)=(x+y+z,;2x+y+3z,;-x+y-2z)
é um isomorfismo (isto é, bijetiva e linear) e, em seguida, encontrar a sua inversa T^-1.
Conteúdo: matrizes de uma transformação linear, determinante para verificar invertibilidade e resolução de sistema linear para obter a inversa.

Passo 2

Vamos escrever na forma matricial. Se e , então
A linearidade de está garantida por esta representação matricial.

Passo 3

Para ver se T é isomorfismo, basta checar se M é invertível, ou seja, se det(M)neq0. Calculamos
det(M) =1cdotdet1&31&-2 -1cdotdet2&3-1&-2 +1cdotdet2&1-1&1 =-5-(-1)+3=-1neq0
Logo det(M)=-1 e M é invertível. Assim, T é um isomorfismo.

Passo 4

Para encontrar
em função de . Substituindo nas outras:
Chamando essas duas últimas de (A) e (B), temos
Subtraindo (A) de (B) dá . Então de (A)
Por fim,

Passo 5

Reagrupando, a inversa T^-1colonR^3toR^3 é dada por
T^-1(u,v,w) =l(5u-3v-2w,;v+w-u,;2v+w-3ur)

Resposta

T é isomorfismo e T^-1(u,v,w)=(5u-3v-2w,;v+w-u,;2v+w-3u) é

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