Prove que a seguinte transformação linear é um isomorfismo e determine sua inversa.
dada por
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a transformação linear
é um isomorfismo (isto é, bijetiva e linear) e, em seguida, encontrar a sua inversa
.
Conteúdo: matrizes de uma transformação linear, determinante para verificar invertibilidade e resolução de sistema linear para obter a inversa.
Conteúdo: matrizes de uma transformação linear, determinante para verificar invertibilidade e resolução de sistema linear para obter a inversa.
Passo 2
Vamos escrever
na forma matricial. Se
e
, então
A linearidade de
está garantida por esta representação matricial.
Passo 3
Para ver se
é isomorfismo, basta checar se
é invertível, ou seja, se
. Calculamos
Logo
e
é invertível. Assim,
é um isomorfismo.
Passo 4
Para encontrar
em função de . Substituindo nas outras:
Chamando essas duas últimas de (A) e (B), temos
Subtraindo (A) de (B) dá
. Então de (A)
Por fim,
Passo 5
Reagrupando, a inversa
é dada por