Dados espaços vetoriais V e W, bases alpha de V e beta de W,[T]beta^alpha e v in V, calcule T(v) matricialmente. Em seguida, calcule a fórmula de T e verifique sua resposta.
V=R^2, W=P1(R), alpha=(1,-1),(1,1), beta=x, 1+x,[T]beta^alpha=[ll2 & -1 3 & -4], v=(0,1).

Passo 1

O enunciado dá
  • V=R^2 com base alpha=(1,-1),(1,1),
  • W=P1(R) com base beta=x,1+x,
  • a matriz de Tcolon Vto W em relação a essas bases
[T]beta^alpha=2 & -13 & -4,
  • e o vetor v=(0,1)in V.
    Primeiro vamos achar T(v) via coordenadas e multiplicação de matrizes. Depois determinamos a fórmula geral de T e conferimos o valor para v.

Passo 2

Precisamos das coordenadas de v na base alpha. Sejam
u1=(1,-1), nu2=(1,1),
e escrevemos
v = c1nu1 + c2nu2 = (c1+c2,,-c1+c2)=(0,1)
Isso gera o sistema
c1 + c2 = 0, -,c1 + c2 = 1
Resolvendo, obtemos
c2 = tfrac12, c1 = -tfrac12,
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[v]alpha = -tfrac12[6pt]tfrac12 ]

Passo 3

Agora calculamos
[T(v)]beta = [T]beta^alpha,[v]alpha =2 & -13 & -4 -tfrac12[3pt]tfrac12 = 2l(-tfrac12r)+(-1)l(tfrac12r)[6pt] 3l(-tfrac12r)+(-4)l(tfrac12r) =-tfrac32[3pt]-tfrac72 ]

Passo 4

Reconstruindo T(v) em W, usando beta=x,1+x:
T(v) = -tfrac32cdot x ;+;l(-tfrac72r)cdot(1+x) =-tfrac32,x ;-tfrac72 -tfrac72,x =-5x ;-tfrac72

Passo 5

Para achar a fórmula geral de
cuja solução é
Então
E em (\beta]:
]

Passo 6

Para (a,b)=(0,1) isso dá
T((0,1))=-5cdot1,x ;-0+7cdot12 =-5x ;-tfrac72,
que coincide com o resultado do cálculo matricial.

Resposta

T(0,1)=-5x-tfrac72
A fórmula geral é
T((a,b))=-5b,x ;-a+7b2

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