Dados espaços vetoriais V e W, bases alpha de V e beta de W,[T]beta^alpha e v in V, calcule T(v) matricialmente. Em seguida, calcule a fórmula de T e verifique sua resposta.
V=R^3, W=P1(R), alpha=(1,-1,0),(1,1,0),(0,0,1), beta=1,1-2 x,[T]beta^alpha=[lll1 & 2 & 3 4 & 5 & 6], v=(0,1,1).

Passo 1

Resumindo: temos Tcolon Vto W com V= R^3, W=P1( R), bases
alpha=(1,-1,0),(1,1,0),(0,0,1), beta=1,,1-2x e matriz
[T]beta^alpha=1&2&34&5&6.
Queremos calcular T(v) para v=(0,1,1) via coordenadas e depois obter a fórmula geral de T.

Passo 2

Primeiro achamos
então
Somando as duas primeiras dá , e .
Portanto
]

Passo 3

Multiplicamos pela matriz de T:
[T]beta^alpha,[v]alpha =1&2&3[0.3em]4&5&6 -tfrac12[0.3em]tfrac12[0.3em]1 =7/2[0.3em]13/2
Esse é [T(v)]beta=(lambda,mu) com lambda=7/2, mu=13/2.]

Passo 4

Como beta=1,,1-2x,
T(v)=lambdacdot1+mucdot(1-2x) =tfrac72+tfrac132(1-2x) =l(tfrac72+tfrac132r)-13x =10-13x

Passo 5

Para a fórmula geral, seja um vetor genérico (v1,v2,v3). Suas coordenadas em alpha são
c1=v1-v22, c2=v1+v22, c3=v3
Aplicando
[T]beta^alpha c1[0.3em]c2[0.3em]c3 = 3v1+v2+6v32[0.3em] 9v1+v2+12v32
Logo
T(v1,v2,v3) =3v1+v2+6v32cdot1 +9v1+v2+12v32cdot(1-2x)
Somando e coletando em 1 e x resulta
T(v1,v2,v3)(x) =(6v1+v2+9v3)+(-9v1-v2-12v3),x ]

Passo 6

Substituindo (v1,v2,v3)=(0,1,1) vemos que a parte constante é
6cdot0+1+9cdot1=10 e o coeficiente de x é
-,l(9cdot0+1+12cdot1r)=-13, ou seja 10-13x, confirmando o cálculo matricial.

Resposta

T(v)=10-13x.\n
Para todo (v1,v2,v3)inR^3 vale
T(v1,v2,v3)(x) =(6v1+v2+9v3)+(-9v1-v2-12v3),x

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