Dados espaços vetoriais V e W, bases alpha de V e beta de W,[T]beta^alpha e v in V, calcule T(v) matricialmente. Em seguida, calcule a fórmula de T e verifique sua resposta.
V=W=R^2, alpha=(1,1),(1,2), beta=(0,1),(-1,1) e [T]beta^alpha=[rr1 & 1 1 & -3], v=(1,0).

Passo 1

O enunciado dá V=W=R^2 com bases
alpha=v1=(1,1),,v2=(1,2) em V e
beta=w1=(0,1),,w2=(-1,1) em W, além da matriz de T relativa a essas bases
[T]beta^alpha = 1 & 11 & -3
e do vetor v=(1,0) na base canônica. Precisamos calcular T(v) usando coordenadas nas bases alpha e beta, depois achar a fórmula explícita de T na base canônica e1,e2 e verificar que ela realmente envia (1,0) em T(v).

Passo 2

Primeiro expressamos
Isto gera o sistema
Subtraindo a primeira da segunda, obtemos . Logo
Agora em coordenadas de
Logo

Passo 3

Para achar a fórmula de T em coordenadas canônicas, usamos a mudança de base
Q = [v1;v2] = 1&11&2, P = [w1;w2] = 0&-11&1
Como det Q=1,
Q^-1=2&-1-1&1
A matriz de T na base canônica é
A ;=; P,[T]beta^alpha,Q^-1 =0&-11&1 1&11&-3 2&-1-1&1 =-5&46&-4

Passo 4

Da matriz obtemos a lei de em coordenadas canônicas: para ,

Passo 5

Verificamos em particular que
T(1,0) = (-5cdot1+4cdot0,;6cdot1-4cdot0) = (-5,6),
conferindo com o resultado do passo 2.

Resposta

T(v) = (-5,6).\n
A fórmula geral é
T(x,y) = l(-5x + 4y,;6x - 4yr)

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