Dados espaços vetoriais e , bases de e de e , calcule matricialmente. Em seguida, calcule a fórmula de e verifique sua resposta. e .
Passo 1
O enunciado dá V=W=R^2 com bases alpha=v1=(1,1),,v2=(1,2) em V e beta=w1=(0,1),,w2=(-1,1) em W, além da matriz de T relativa a essas bases
[T]beta^alpha = 1 & 11 & -3
e do vetor v=(1,0) na base canônica. Precisamos calcular T(v) usando coordenadas nas bases alpha e beta, depois achar a fórmula explícita de T na base canônica e1,e2 e verificar que ela realmente envia (1,0) em T(v).
Passo 2
Primeiro expressamos
Isto gera o sistema
Subtraindo a primeira da segunda, obtemos . Logo
Agora em coordenadas de
Logo
Passo 3
Para achar a fórmula de T em coordenadas canônicas, usamos a mudança de base
Q = [v1;v2] = 1&11&2, P = [w1;w2] = 0&-11&1
Como det Q=1,
Q^-1=2&-1-1&1
A matriz de T na base canônica é
A ;=; P,[T]beta^alpha,Q^-1 =0&-11&1 1&11&-3 2&-1-1&1 =-5&46&-4
Passo 4
Da matriz obtemos a lei de em coordenadas canônicas: para ,