Dadas as transformações lineares T e S, calcule S circ T.
T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(-x+4 y, 2 x+y) e S: R^2 R^3 dada por S(x, y)=(x+y, x+2 y, x+3 y).

Passo 1

O enunciado pede a composição das transformações lineares TcolonR^2toR^2 e ScolonR^2toR^3, ou seja, precisamos encontrar a regra de Scirc TcolonR^2toR^3 definida por
(Scirc T)(x,y) ;=; Sl(T(x,y)r)
O que faremos é primeiro aplicar T a (x,y) e em seguida aplicar S ao resultado.

Passo 2

Vamos chamar
T(x,y) = (u,v)
Pela definição de T, temos
u = -x + 4y, v = 2x + y

Passo 3

Agora aplicamos S ao vetor (u,v). Pela definição de S,
S(u,v) = l(u+v,;u+2v,;u+3vr)

Passo 4

Substituímos u=-x+4y e v=2x+y em cada componente de S(u,v):
  1. u+v = (-x+4y)+(2x+y) = x+5y.
  2. u+2v = (-x+4y)+2(2x+y) = -x+4y+4x+2y = 3x+6y.
  3. u+3v = (-x+4y)+3(2x+y) = -x+4y+6x+3y = 5x+7y.

Passo 5

Reunindo, obtemos a regra da composição:
(Scirc T)(x,y) = l(x+5y,;3x+6y,;5x+7yr)
Alternativamente, em forma de matriz (em relação às bases canônicas):
[Scirc T] = 1 & 5 3 & 6 5 & 7

Resposta

Scirc TcolonR^2toR^3, (Scirc T)(x,y) = l(x+5y,;3x+6y,;5x+7yr)

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