Qual a matriz da transformação no espaço tridimensional que leva os vetores
nos vetores
que é a projeção de
sobre o eixo passando pela origem com um vetor diretor
?
Passo 1
O enunciado pede a matriz da transformação linear
que leva cada à sua projeção ortogonal no eixo gerado por
.
Conteúdo: projeção de vetores usando produto interno e norma em .
que leva cada
Conteúdo: projeção de vetores usando produto interno e norma em
Passo 2
A projeção ortogonal de
sobre
é dada pela fórmula
Aqui usamos que
é o produto interno e
.
Passo 3
Calculemos o numerador e o denominador:
e
.
e
Passo 4
Substituindo na fórmula da projeção, obtemos
Logo as componentes são
Passo 5
Para escrever
identificamos os coeficientes de
em cada
. A matriz é