Qual a matriz da transformação no espaço tridimensional que leva os vetores x=(x, y, z) nos vetores w=(w1, w2, w3) que é a projeção de x sobre o eixo passando pela origem com um vetor diretor v=(a, b, c)?
l T: R^3 longmapsto R^3 (x, x, z) longmapsto T(x, y, z)=(w1, w2, w3)

Passo 1

O enunciado pede a matriz da transformação linear
TcolonR^3toR^3
que leva cada x=(x,y,z) à sua projeção ortogonal no eixo gerado por v=(a,b,c).
Conteúdo: projeção de vetores usando produto interno e norma em R^3.

Passo 2

A projeção ortogonal de x sobre v é dada pela fórmula
projvec v(vec x) =vec xcdotvec vvec vcdotvec v,vec v
Aqui usamos que vec xcdotvec v é o produto interno e vec vcdotvec v=|vec v|^2.

Passo 3

Calculemos o numerador e o denominador:
vec xcdotvec v = a,x + b,y + c,z
e
vec vcdotvec v = a^2 + b^2 + c^2.

Passo 4

Substituindo na fórmula da projeção, obtemos
vec w = T(vec x) =a x + b y + c za^2+b^2+c^2,(a,b,c)
Logo as componentes são
w1 = a,(a x + b y + c z)a^2+b^2+c^2, w2 = b,(a x + b y + c z)a^2+b^2+c^2, w3 = c,(a x + b y + c z)a^2+b^2+c^2

Passo 5

Para escrever w = M,(x,y,z)^T identificamos os coeficientes de x,y,z em cada wi. A matriz é
M = 1a^2+b^2+c^2 a^2 & a b & a c a b & b^2 & b c a c & b c & c^2

Resposta

M ;=;1a^2+b^2+c^2 a^2 & a b & a c a b & b^2 & b c a c & b c & c^2

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