Dados espaços vetoriais V e W, bases alpha de V e beta de W,[T]beta^alpha e v in V, calcule T(v) matricialmente. Em seguida, calcule a fórmula de T e verifique sua resposta.
V=P1(R), W=R^3, alpha=1-x, 1+x, beta=(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0),[T]beta^alpha=[rr1 & -1 4 & 2 1 & 2], v=2 x.

Passo 1

O enunciado define um operador linear
Tcolon Vto W
com V=P1(R), W=R^3, bases
alpha=,1-x,;1+x em V e beta=(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0) em W, e a matriz de T relativa a essas bases é
[T]beta^alpha = 1 & -1 4 & 2 1 & 2
Queremos (i) calcular matricialmente T(v) para v=2x e (ii) obter a fórmula explícita de T em coordenadas usuais, verificando o item (i).

Passo 2

Expressamos
Isto dá o sistema
Daí ((c_{1},c_{2})=(-1,1)]. Logo

e

Passo 3

Reconstruímos T(v) na base canônica de R^3. Se
[T(v)]beta=(-2,-2,1)^T, então
T(v) =-2,(1,0,1)-2,(0,1,1)+1,(1,1,0) =(-1,-1,-4)

Passo 4

Agora achamos a fórmula geral de
cuja solução é
Logo
Reconstituindo na base padrão, obtemos para (T(a+bx)] o vetor

cuja soma de componentes dá

]

Passo 5

Verificação rápida: em p(x)=2x temos a=0,b=2, e
T(2x)=l(tfrac0-22,,tfrac0-22,,0-4r)=(-1,-1,-4),
coincidindo com o item (i).

Resposta

T(2x)=(-1,-1,-4).
Em geral, para p(x)=a+bx,
T(a+bx)=l(tfrac3a-b2,;tfrac9a-b2,;3a-2br)

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