Dados espaços vetoriais e , bases de e de e , calcule matricialmente. Em seguida, calcule a fórmula de e verifique sua resposta. .
Passo 1
O enunciado define um operador linear Tcolon Vto W
com V=P1(R), W=R^3, bases alpha=,1-x,;1+x em V e beta=(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0) em W, e a matriz de T relativa a essas bases é
[T]beta^alpha = 1 & -1 4 & 2 1 & 2
Queremos (i) calcular matricialmente T(v) para v=2x e (ii) obter a fórmula explícita de T em coordenadas usuais, verificando o item (i).
Passo 2
Expressamos
Isto dá o sistema
Daí ((c_{1},c_{2})=(-1,1)]. Logo
e
Passo 3
Reconstruímos T(v) na base canônica de R^3. Se [T(v)]beta=(-2,-2,1)^T, então
T(v) =-2,(1,0,1)-2,(0,1,1)+1,(1,1,0) =(-1,-1,-4)
Passo 4
Agora achamos a fórmula geral de
cuja solução é
Logo
Reconstituindo na base padrão, obtemos para (T(a+bx)] o vetor
cuja soma de componentes dá
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