determinar o espaço coluna de A (ou seja, o subespaço gerado pelas colunas de A);
determinar o espaço nulo de A (ou seja, o conjunto de vetores x que satisfazem A x = 0).
As informações relevantes são os elementos de A mostrados acima. Não se pede nada mais além desses dois espaços.
Passo 2
Vou explicar de forma curta e didática o que é cada objeto que vamos calcular:
O espaço coluna de A, denotado \operatorname{Col}(A), é o conjunto de combinações lineares das colunas de A. Uma base natural para \operatorname{Col}(A) é formada pelas colunas de A que são linearmente independentes (colunas-pivô na eliminação).
O espaço nulo de A, denotado \operatorname{Nul}(A), é o conjunto \{x\in\mathbb{R}^4\mid A x = 0\}. Para encontrá-lo fazemos a redução por linhas (RREF) de A, identificamos variáveis livres e expressamos as variáveis básicas em função das livres. O conjunto de vetores obtido pelas escolhas paramétricas forma uma base de \operatorname{Nul}(A).
Passo 3
Vamos reduzir A por linhas para chegar à forma escalonada reduzida (RREF). Começando com A:
Dessa RREF vemos claramente que as colunas-pivô são as colunas 1, 2 e 3. A quarta coluna é livre (não-pivô). O posto (rank) de A é 3.
Passo 8
Determinação do espaço coluna. Como as colunas 1, 2 e 3 são colunas-pivô, uma base natural de \operatorname{Col}(A) é dada pelas três primeiras colunas originais de A. Vou escrever essas colunas:
Também é útil observar que a quarta coluna c_4=\begin{pmatrix}1\\[2pt]4\\[2pt]3\end{pmatrix} é combinação linear das três primeiras; podemos achar os coeficientes resolvendo
\alpha c_1+\beta c_2+\gamma c_3=c_4.
Resolvendo esse sistema (feito nos cálculos abaixo) obtemos \alpha=-\tfrac{3}{2}, \beta=0, \gamma=\tfrac{1}{2}, ou seja
c_4=-\tfrac{3}{2}c_1+0\cdot c_2+\tfrac{1}{2}c_3,
o que confirma que c_4 está em \operatorname{span}\{c_1,c_2,c_3\}.]
Passo 9
Determinação do espaço nulo. Da RREF temos o sistema equivalente A x = 0\):
\[\begin{cases} x_1 - \tfrac{3}{2}x_4 = 0,\\[4pt] x_2 = 0,\\[4pt] x_3 + \tfrac{1}{2}x_4 = 0. \end{cases}
Tomamos x_4\] como parâmetro, digamos \(x_4=t. Então