Determine o espaço coluna e o espaço nulo da matriz A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 5 & 1 \\\\ 2 & 14 & 14 & 4 \\\\ 2 & 3 & 12 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & 1 \\\\ 2 & 14 & 14 & 4 \\\\ 2 & 3 & 12 & 3 \end{pmatrix}
e pede duas coisas:
  1. determinar o espaço coluna de A (ou seja, o subespaço gerado pelas colunas de A);
  2. determinar o espaço nulo de A (ou seja, o conjunto de vetores x que satisfazem A x = 0).
    As informações relevantes são os elementos de A mostrados acima. Não se pede nada mais além desses dois espaços.

Passo 2

Vou explicar de forma curta e didática o que é cada objeto que vamos calcular:
  • O espaço coluna de A, denotado \operatorname{Col}(A), é o conjunto de combinações lineares das colunas de A. Uma base natural para \operatorname{Col}(A) é formada pelas colunas de A que são linearmente independentes (colunas-pivô na eliminação).
  • O espaço nulo de A, denotado \operatorname{Nul}(A), é o conjunto \{x\in\mathbb{R}^4\mid A x = 0\}. Para encontrá-lo fazemos a redução por linhas (RREF) de A, identificamos variáveis livres e expressamos as variáveis básicas em função das livres. O conjunto de vetores obtido pelas escolhas paramétricas forma uma base de \operatorname{Nul}(A).

Passo 3

Vamos reduzir A por linhas para chegar à forma escalonada reduzida (RREF). Começando com A:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & 1 \\\\ 2 & 14 & 14 & 4 \\\\ 2 & 3 & 12 & 3 \end{pmatrix}
Primeiro, elimino abaixo do pivô da primeira linha usando R_2\leftarrow R_2-2R_1 e R_3\leftarrow R_3-2R_1:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & 1 \\\\ 0 & 12 & 4 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}

Passo 4

Troco as linhas R_2 e R_3 para ter um pivô mais simples na segunda linha:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 12 & 4 & 2 \end{pmatrix}
Agora elimino o 12 em R_3 usando R_3\leftarrow R_3-12R_2:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & -20 & -10 \end{pmatrix}

Passo 5

Simplifico a terceira linha dividindo por -10 (para evitar frações grandes):
R_3\leftarrow \frac{-1}{10}R_3 \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}
Em seguida normalizo R_3 dividindo por 2:
R_3\leftarrow \frac{1}{2}R_3 \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}

Passo 6

Agora eliminamos acima do pivô da terceira coluna. Primeiro R_2\leftarrow R_2-2R_3:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}
Depois R_1\leftarrow R_1-5R_3:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & -\tfrac{3}{2} \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}

Passo 7

Finalmente eliminamos a entrada 1 na posição (1,2) usando R_1\leftarrow R_1-R_2:
\text{RREF}(A)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{3}{2} \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}
Dessa RREF vemos claramente que as colunas-pivô são as colunas 1, 2 e 3. A quarta coluna é livre (não-pivô). O posto (rank) de A é 3.

Passo 8

Determinação do espaço coluna. Como as colunas 1, 2 e 3 são colunas-pivô, uma base natural de \operatorname{Col}(A) é dada pelas três primeiras colunas originais de A. Vou escrever essas colunas:
c_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]2\end{pmatrix},\quad c_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt]14\\[2pt]3\end{pmatrix},\quad c_3=\begin{pmatrix}5\\[2pt]14\\[2pt]12\end{pmatrix}.
Logo
\operatorname{Col}(A)=\operatorname{span}\{c_1,c_2,c_3\}.
Também é útil observar que a quarta coluna c_4=\begin{pmatrix}1\\[2pt]4\\[2pt]3\end{pmatrix} é combinação linear das três primeiras; podemos achar os coeficientes resolvendo
\alpha c_1+\beta c_2+\gamma c_3=c_4.
Resolvendo esse sistema (feito nos cálculos abaixo) obtemos \alpha=-\tfrac{3}{2}, \beta=0, \gamma=\tfrac{1}{2}, ou seja
c_4=-\tfrac{3}{2}c_1+0\cdot c_2+\tfrac{1}{2}c_3,
o que confirma que c_4 está em \operatorname{span}\{c_1,c_2,c_3\}.]

Passo 9

Determinação do espaço nulo. Da RREF temos o sistema equivalente A x = 0\): \[\begin{cases} x_1 - \tfrac{3}{2}x_4 = 0,\\[4pt] x_2 = 0,\\[4pt] x_3 + \tfrac{1}{2}x_4 = 0. \end{cases}
Tomamos x_4\] como parâmetro, digamos \(x_4=t. Então
x_1 = \tfrac{3}{2}t,\quad x_2=0,\quad x_3 = -\tfrac{1}{2}t,\quad x_4=t.
Escrevendo o vetor x em função de t:
x=t\begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[2pt]0\\[2pt]-\tfrac{1}{2}\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Para evitar frações, substituímos t=2s, obtendo
x=s\begin{pmatrix}3\\[2pt]0\\[2pt]-1\\[2pt]2\end{pmatrix},\quad s\in\mathbb{R}.
Portanto o espaço nulo é de dimensão 1 e uma base é formada pelo vetor \begin{pmatrix}3\\[2pt]0\\[2pt]-1\\[2pt]2\end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle \operatorname{Col}(A)=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\[2pt]14\\[2pt]3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}5\\[2pt]14\\[2pt]12\end{pmatrix}\right\}\
\displaystyle \operatorname{Nul}(A)=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}3\\[2pt]0\\[2pt]-1\\[2pt]2\end{pmatrix}\right\}]

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