Determine uma base canônica para o espaço \mathcal{P}^{3} dos polinômios de grau 3 .

Passo 1

O enunciado pede: “Determine uma base canônica para o espaço \mathcal{P}^{3} dos polinômios de grau 3.”
Informações dadas e interpretadas (tudo que o enunciado fornece):
  • Temos o espaço \mathcal{P}^{3}.
  • Entendo aqui que \mathcal{P}^{3} é o espaço dos polinômios com grau menor ou igual a 3 (isto é, polinômios da forma a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}).
  • A tarefa é encontrar a “base canônica” desse espaço (ou seja, a base padrão/usual).

Passo 2

O que é uma base (explicação didática e sem pular etapas):
  • Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz duas propriedades: (1) geram o espaço (ou seja, qualquer vetor do espaço é combinação linear desses vetores) e (2) são linearmente independentes (ou seja, nenhuma combinação linear não trivial deles dá o vetor nulo).
  • No caso de polinômios, “vetores” são polinômios, e combinação linear significa somas com coeficientes escalares.
  • A base canônica para espaços de polinômios costuma ser o conjunto formado pelas potências de x: 1,x,x^{2},x^{3},\dots. Aqui vamos verificar isso para até x^{3}.

Passo 3

Sugestão natural (sem prova ainda): o conjunto candidato à base canônica é
\{\,1,\;x,\;x^{2},\;x^{3}\,\}.
Agora vamos provar que esse conjunto realmente é uma base, checando as duas propriedades: gera o espaço e é linearmente independente.

Passo 4

Prova de que o conjunto gera \mathcal{P}^{3} (explicação passo a passo):
  • Tome um polinômio arbitrário p(x)\in\mathcal{P}^{3}. Pela forma geral de polinômios de grau \le 3, podemos escrever
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3},
onde a_{0},a_{1},a_{2},a_{3} são escalares (números reais, presumivelmente).
  • Observe que essa expressão é exatamente uma combinação linear dos polinômios 1,x,x^{2},x^{3}:
p(x)=a_{0}\cdot 1 + a_{1}\cdot x + a_{2}\cdot x^{2} + a_{3}\cdot x^{3}.
  • Conclusão: qualquer p(x)\in\mathcal{P}^{3} pode ser obtido a partir de \{1,x,x^{2},x^{3}\}, então o conjunto gera o espaço.

Passo 5

Prova de que o conjunto é linearmente independente (explicação minuciosa e didática):
  • Para mostrar independência linear, consideramos uma combinação linear que dê o polinômio nulo (o polinômio que vale 0 para todo x):
c_{0}\cdot 1 + c_{1}\cdot x + c_{2}\cdot x^{2} + c_{3}\cdot x^{3} \equiv 0\quad\text{(polinômio nulo)},ô
onde c_{0},c_{1},c_{2},c_{3} são escalares. Nosso objetivo é mostrar que isso implica c_{0}=c_{1}=c_{2}=c_{3}=0.
  • Uma forma direta e segura de fazer isso é avaliar derivadas no ponto x=0. Defina
q(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}.
Como q(x) é o polinômio nulo (igual a 0 para todo x), todas as suas derivadas também são identicamente zero. Agora calculemos as derivadas em 0:
  • q(0)=c_{0}=0. Logo c_{0}=0.
  • q'(x)=c_{1}+2c_{2}x+3c_{3}x^{2}. Então q'(0)=c_{1}=0. Logo c_{1}=0.
  • q''(x)=2c_{2}+6c_{3}x. Então q''(0)=2c_{2}=0, logo c_{2}=0.
  • q'''(x)=6c_{3}. Como q'''(x) é identicamente zero, 6c_{3}=0, logo c_{3}=0.
  • Assim, a única solução para a combinação linear que produz o polinômio nulo é c_{0}=c_{1}=c_{2}=c_{3}=0. Isso prova que os quatro vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Conclusão e observações finais (ligando com dimensão e uso prático):
  • Como mostramos que \{1,x,x^{2},x^{3}\} gera \mathcal{P}^{3} e é linearmente independente, é uma base de \mathcal{P}^{3}.
  • Consequência prática: a dimensão de \mathcal{P}^{3} é 4 (número de vetores da base).
  • Exemplo concreto para fixar: o polinômio r(x)=2- x +3x^{2} tem coordenadas na base canônica iguais a (2,\,-1,\,3,\,0), porque
r(x)=2\cdot 1 + (-1)\cdot x + 3\cdot x^{2} + 0\cdot x^{3}.
  • Fica a dica: na prova você pode mostrar geração escrevendo a forma geral do polinômio e mostrar independência usando avaliação em pontos distintos ou derivadas como fizemos; ambas são estratégias rápidas e confiáveis.

Resposta

\{\,1,\;x,\;x^{2},\;x^{3}\,\}

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