Determine uma base canônica para o espaço
dos polinômios de grau 3 .
Passo 1
O enunciado pede: “Determine uma base canônica para o espaço
dos polinômios de grau 3.”
Informações dadas e interpretadas (tudo que o enunciado fornece):
Informações dadas e interpretadas (tudo que o enunciado fornece):
- Temos o espaço
. - Entendo aqui que
é o espaço dos polinômios com grau menor ou igual a (isto é, polinômios da forma ). - A tarefa é encontrar a “base canônica” desse espaço (ou seja, a base padrão/usual).
Passo 2
O que é uma base (explicação didática e sem pular etapas):
- Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz duas propriedades: (1) geram o espaço (ou seja, qualquer vetor do espaço é combinação linear desses vetores) e (2) são linearmente independentes (ou seja, nenhuma combinação linear não trivial deles dá o vetor nulo).
- No caso de polinômios, “vetores” são polinômios, e combinação linear significa somas com coeficientes escalares.
- A base canônica para espaços de polinômios costuma ser o conjunto formado pelas potências de
: . Aqui vamos verificar isso para até .
Passo 3
Sugestão natural (sem prova ainda): o conjunto candidato à base canônica é
Agora vamos provar que esse conjunto realmente é uma base, checando as duas propriedades: gera o espaço e é linearmente independente.
Passo 4
Prova de que o conjunto gera
(explicação passo a passo):
- Tome um polinômio arbitrário
. Pela forma geral de polinômios de grau , podemos escrever
onde
são escalares (números reais, presumivelmente).
- Observe que essa expressão é exatamente uma combinação linear dos polinômios
:
- Conclusão: qualquer
pode ser obtido a partir de , então o conjunto gera o espaço.
Passo 5
Prova de que o conjunto é linearmente independente (explicação minuciosa e didática):
- Para mostrar independência linear, consideramos uma combinação linear que dê o polinômio nulo (o polinômio que vale
para todo ):
onde
são escalares. Nosso objetivo é mostrar que isso implica
.
- Uma forma direta e segura de fazer isso é avaliar derivadas no ponto
. Defina
Como
é o polinômio nulo (igual a
para todo
), todas as suas derivadas também são identicamente zero. Agora calculemos as derivadas em
:
-
. Logo . -
. Então . Logo . -
. Então , logo . -
. Como é identicamente zero, , logo . - Assim, a única solução para a combinação linear que produz o polinômio nulo é
. Isso prova que os quatro vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Conclusão e observações finais (ligando com dimensão e uso prático):
- Como mostramos que
gera e é linearmente independente, é uma base de . - Consequência prática: a dimensão de
é (número de vetores da base). - Exemplo concreto para fixar: o polinômio
tem coordenadas na base canônica iguais a , porque
- Fica a dica: na prova você pode mostrar geração escrevendo a forma geral do polinômio e mostrar independência usando avaliação em pontos distintos ou derivadas como fizemos; ambas são estratégias rápidas e confiáveis.