Dados espaços vetoriais V e W, bases \alpha de V e \beta de W, [T]_{\beta}^{\alpha} e v \in V, calcule T(v) matricialmente. Em seguida, calcule a fórmula de T e verifique sua resposta.
(d) V=P_{1}(\mathbb{R}), W=\mathbb{R}^{3}, \alpha=\{1-x, 1+x\}, \beta=\{(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)\},[T]_{\beta}^{\alpha}=\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ 4 & 2 \\\\ 1 & 2\end{array}\right], v=2 x.

Passo 1

O enunciado dá um espaço V=P_{1}(\mathbb{R}) com base \alpha=\{\,1-x,\;1+x\}, um espaço W=\mathbb{R}^{3} com base \beta=\{(1,0,1),\,(0,1,1),\,(1,1,0)\}, a matriz de T em relação a essas bases
[T]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 4 & 2\\\\ 1 & 2 \end{pmatrix}
e o vetor v=2x.
Para achar T(v) matricialmente, primeiro vamos expressar v nas coordenadas de \alpha, depois multiplicar pela matriz e, por fim, voltar à base canônica de \mathbb{R}^{3}. Em seguida, vamos deduzir a fórmula geral de T(a+bx) e checar que ela reproduz o resultado obtido.

Passo 2

Expressar v=2x\) como combinação de \(1-x\) e \(1+x\). Se \[v = c_1\,(1-x) + c_2\,(1+x),
então, comparando coeficientes, temos
\begin{cases} c_1 + c_2 = 0,\\\\ -\,c_1 + c_2 = 2. \end{cases}
Resolvendo, c_1 = -1\] e \(c_2 = 1. Logo
[v]_{\alpha} = \begin{pmatrix} -1\\\\ 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular as coordenadas de T(v) na base \beta por
[T(v)]_{\beta} = \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 4 & 2\\\\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1\\\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\\\ -2\\\\ 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Reconstruir T(v) na base canônica de \mathbb{R}^3:
T(v) = -2\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} -2\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} +1\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ -4\end{pmatrix}.

Passo 5

Agora deduzimos a fórmula de T. Seja um polinômio genérico p(x)=a+bx. Primeiro achamos suas coordenadas em \alpha:
a+bx = c_1(1-x)+c_2(1+x) \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} c_1 + c_2 = a,\\\\ -\,c_1 + c_2 = b, \end{cases}
cuja solução é
c_1 = \frac{a-b}{2}, \quad c_2 = \frac{a+b}{2}.
Então
[T(p)]_{\beta} = \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 4 & 2\\\\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{a-b}{2}\\[6pt] \frac{a+b}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -b\\[3pt] 3a - b\\[3pt] \frac{3a + b}{2} \end{pmatrix}.
Finalmente, voltando à base canônica,
T(a+bx) = -b\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} +(3a - b)\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} +\frac{3a+b}{2}\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3a - b}{2}\\[3pt] \frac{9a - b}{2}\\[3pt] 3a - 2b \end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificando para v=2x ( a=0, b=2):
T(2x) = \begin{pmatrix} \frac{3\cdot0 - 2}{2}\\[3pt] \frac{9\cdot0 - 2}{2}\\[3pt] 3\cdot0 - 2\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ -4\end{pmatrix},
que coincide com o valor obtido matricialmente.
]

Resposta

T(2x)=(-1,\,-1,\,-4) T(a+bx)=\bigl(\tfrac{3a - b}{2},\;\tfrac{9a - b}{2},\;3a - 2b\bigr)

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