Dados espaços vetoriais V e W, bases \alpha de V e \beta de W, [T]_{\beta}^{\alpha} e v \in V, calcule T(v) matricialmente. Em seguida, calcule a fórmula de T e verifique sua resposta.
(d) V=P_{1}(\mathbb{R}), W=\mathbb{R}^{3}, \alpha=\{1-x, 1+x\}, \beta=\{(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)\},[T]_{\beta}^{\alpha}=\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ 4 & 2 \\\\ 1 & 2\end{array}\right], v=2 x.
Passo 1
O enunciado dá um espaço V=P_{1}(\mathbb{R}) com base \alpha=\{\,1-x,\;1+x\}, um espaço W=\mathbb{R}^{3} com base \beta=\{(1,0,1),\,(0,1,1),\,(1,1,0)\}, a matriz de T em relação a essas bases
e o vetor v=2x.
Para achar T(v) matricialmente, primeiro vamos expressar v nas coordenadas de \alpha, depois multiplicar pela matriz e, por fim, voltar à base canônica de \mathbb{R}^{3}. Em seguida, vamos deduzir a fórmula geral de T(a+bx) e checar que ela reproduz o resultado obtido.
Passo 2
Expressar v=2x\) como combinação de \(1-x\) e \(1+x\). Se
\[v = c_1\,(1-x) + c_2\,(1+x),