Prove que as seguintes transformações lineares são isomorfismos e determine suas inversas.
(a) T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, z)=(x+y-z,-x+2 z, 2 x+2 y+3 z).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z) = (\,x+y-z,\;-x+2z,\;2x+2y+3z\,).
Queremos mostrar que T é isomorfismo (isto é, bijetora) e encontrar T^{-1}. Para isso, vamos representar T pela sua matriz padrão em relação à base canônica, verificar que o determinante é não-nulo e então inverter essa matriz.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ -1& 0 & 2\\\\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix},
cuja coluna j é T(e_j). Calculamos o determinante por desenvolvimento na primeira linha:
\det(A) =1\det\!\begin{pmatrix}0&2\\\ 2&3\end{pmatrix} -1\det\!\begin{pmatrix}-1&2\\\ 2&3\end{pmatrix} +(-1)\det\!\begin{pmatrix}-1&0\\\ 2&2\end{pmatrix}.
Cada termo vale
\det\!\begin{pmatrix}0&2\\\ 2&3\end{pmatrix}=0\cdot3-2\cdot2=-4,
\det\!\begin{pmatrix}-1&2\\\ 2&3\end{pmatrix}=-1\cdot3-2\cdot2=-7,
\det\!\begin{pmatrix}-1&0\\\ 2&2\end{pmatrix}=-1\cdot2-0\cdot2=-2.
Logo
\det(A)=1\cdot(-4)-1\cdot(-7)+(-1)\cdot(-2)=-4+7+2=5\neq0.
Como \det(A)\neq0, a matriz é invertível e T é isomorfismo.

Passo 3

Para achar A^{-1}, usamos A^{-1}=\tfrac1{\det(A)}\operatorname{adj}(A). Calculamos a matriz dos cofatores de A:
C = \begin{pmatrix} -4 & 7 & -2\\\\ -5 & 5 & 0\\\\ 2 & -1& 1 \end{pmatrix},
de modo que \operatorname{adj}(A)=C^{T}. Assim
\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} -4 & -5 & 2\\\\ 7 & 5 & -1\\\\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix},
e
A^{-1} =\frac1{5} \begin{pmatrix} -4 & -5 & 2\\\\ 7 & 5 & -1\\\\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Dado (u,v,w)\in\mathbb{R}^3, a aplicação inversa T^{-1}(u,v,w)=(x,y,z) satisfaz
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =A^{-1}\begin{pmatrix}u\v\w\end{pmatrix} =\frac1{5} \begin{pmatrix} -4u -5v +2w\\\\ 7u +5v -w\\\\ -2u +\;0\cdot v +w \end{pmatrix}.
Portanto
T^{-1}(u,v,w) =\Bigl(\,\frac{-4u-5v+2w}{5},\;\frac{7u+5v-w}{5},\;\frac{-2u+w}{5}\Bigr).

Resposta

T é um isomorfismo e
T^{-1}(u,v,w) =\Bigl(\,\tfrac{-4u-5v+2w}{5},\;\tfrac{7u+5v-w}{5},\;\tfrac{-2u+w}{5}\Bigr).

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