Dadas as três retas r1, r2 e r3 de equações:
r1:=cx=t+1 y=t-1 z=2 t t in R, r2:=cx=s y=s z=2 s-3 s in R e r3:=cx=k-1 y=1 z=-k+1 k in R,
Nos itens a , b e c, diga justificando, qual é a posição relativa e a distância entre as retas. E, se for o caso, qual a sua interseção. Nos cálculos, use somente a fórmula da distância entre os planos a x+b y+c z=d e a x+ b y+c z=d^prime que é |d-d^prime| /|(a, b, c)|. As demais fórmulas devem ser justificadas como foram encontradas:
Mostre que o plano x+y-z=1 e a reta r1 são paralelos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o plano
pi: x + y - z = 1
e a reta
r1colon x = t + 1,;y = t - 1,;z = 2t
são paralelos. Para isso usamos o fato de que uma reta é paralela a um plano se, e somente se, seu vetor direção é ortogonal ao vetor normal do plano.

Passo 2

Da forma paramétrica de r1
x = t + 1,;y = t - 1,;z = 2t
vemos que o vetor direção de r1 é
v = (1,,1,,2).

Passo 3

Do plano pi dado por
x + y - z = 1
extraímos o vetor normal
n = (1,,1,,-1).

Passo 4

Calculamos o produto escalar entre v e n:
vcdotn = 1cdot1 ;+; 1cdot1 ;+; 2cdot(-1) = 1 + 1 - 2 = 0

Passo 5

Como vcdotn=0, o vetor direção de r1 é ortogonal ao vetor normal do plano pi. Logo, a reta r1 é paralela ao plano pi.

Resposta

A reta r1 e o plano x + y - z = 1 são paralelos.

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