Determine o centro e o raio da esfera que tem equação
x^2+y^2+z^2=2(x-2 y)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de uma esfera
x^2+y^2+z^2=2(x-2y)
e pede o centro e o raio. Vamos usar geometria analítica e completar quadrados para escrevê-la na forma padrão
(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=r^2

Passo 2

Colocamos todos os termos no mesmo lado da igualdade:
x^2+y^2+z^2-2x+4y=0

Passo 3

Agora completamos o quadrado em x e em y, lembrando que z^2=(z-0)^2:
x^2-2x=(x-1)^2-1,
y^2+4y=(y+2)^2-4

Passo 4

Substituindo essas expressões em ,x^2+y^2+z^2-2x+4y=0, obtemos
(x-1)^2-1+(y+2)^2-4+z^2=0
ou seja
(x-1)^2+(y+2)^2+z^2=5

Passo 5

Comparando com a forma padrão (x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=r^2, vemos que
x0=1, y0=-2, z0=0, r^2=5

Resposta

O centro é (1,-2,0) e o raio é raiz5.

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