O que descreve o conjunto de todas as combinações lineares dos ternos:
(1,2,0) e (2,0,1) ?

Passo 1

O enunciado pede para descrever o subespaço de R^3 gerado pelas combinações lineares dos vetores (1,2,0) e (2,0,1). O conteúdo aqui é “espaço gerado” ou “span” de dois vetores, e vamos parametricamente escrever qualquer combinação desses vetores e, em seguida, achar sua descrição implícita.

Passo 2

Seja alpha,betainR. Uma combinação linear genérica desses vetores é
(,x,y,z,);=;alpha,(1,2,0);+;beta,(2,0,1)
o que dá as coordenadas
x=alpha+2beta, y=2alpha, z=beta

Passo 3

Da segunda e terceira igualdades temos
alpha=y2, beta=z
Substituindo em x=alpha+2beta obtém-se
x=y2+2z

Passo 4

Reescrevendo essa relação em forma implícita obtemos
2x - y - 4z = 0
Logo o conjunto de todas as combinações lineares é exatamente o plano que passa pela origem e satisfaz essa equação.

Resposta

O subespaço gerado por (1,2,0) e (2,0,1) é o plano de R^3 dado por
(x,y,z)inR^3 mid 2x - y - 4z = 0

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