Dadas as três retas r1, r2 e r3 de equações:
r1:=cx=t+1 y=t-1 z=2 t t in R, r2:=cx=s y=s z=2 s-3 s in R e r3:=cx=k-1 y=1 z=-k+1 k in R,
Nos itens a , b e c, diga justificando, qual é a posição relativa e a distância entre as retas. E, se for o caso, qual a sua interseção. Nos cálculos, use somente a fórmula da distância entre os planos a x+b y+c z=d e a x+ b y+c z=d^prime que é |d-d^prime| /|(a, b, c)|. As demais fórmulas devem ser justificadas como foram encontradas:
r2 e r3.

Passo 1

Neste exercício vamos estudar as posições relativas dos pares de retas
r1 com r2, r1 com r3 e r2 com r3, decidindo se são paralelas, coincidentes, concorrentes ou reversas (skew), e calcular sua distância.
Para isso precisamos:
  1. Extrair de cada reta um ponto P e um vetor direção v.
  2. Comparar vetores direção para ver paralelismo.
  3. Resolver os sistemas das equações paramétricas para checar interseção.
  4. Calcular distâncias usando unicamente a fórmula da distância entre planos paralelos
dist=|d-d'||(a,b,c)|
definindo planos adequados que contenham cada reta.

Passo 2

Representações vetoriais e dados iniciais:
r1:;P1=(1,-1,0),; v1=(1,1,2), r2:;P2=(0,0,-3),; v2=(1,1,2), r3:;P3=(-1,1,1),; v3=(1,0,-1)
Note que v1= v2, logo r1 e r2 são paralelas.

Passo 3

Análise de r1 e r2:
As direções coincidem mas as retas não coincidem, pois
P1-P2=(1,-1,0)-(0,0,-3)=(1,-1,3)
não é múltiplo escalar de v1=(1,1,2). São retas paralelas distintas.
Para medir a distância, escolhemos um vetor normal n perpendicular a v1, por exemplo n=(1,-1,0).
O plano que contém r1 é
x - y = ncdot P1 = 1 -(-1)=2,
e o plano paralelo que contém r2 é
x - y = ncdot P2 = 0-0=0
Pela fórmula da distância entre planos paralelos,
dist(r1,r2) =|2-0|raiz1^2+(-1)^2+0^2 =2raiz2 =raiz2

Passo 4

Análise de r1 e r3:
Os vetores direção não são paralelos, então podem ser concorrentes ou reversas. Tentamos interseção resolvendo
1+t = -1+k, -1+t=1, 2t=1-k
Da segunda equação t=2. Da primeira, 2-k=-2Rightarrow k=4. Na terceira teríamos 4+4=1, impossível. Logo não se intersectam: são reversas (skew).
Para a distância usamos planos paralelos com normal n= v1times v3. Calcula-se
v1times v3 =det i& j& k1&1&21&0&-1 =(-1,3,-1),
podendo usar n=(1,-3,1). O plano contendo r1 satisfaz
x-3y+z= ncdot P1=1-3(-1)+0=4,
e o plano paralelo contendo r3 satisfaz
x-3y+z= ncdot P3=-1-3(1)+1=-3
Pela fórmula,
dist(r1,r3) =|4-(-3)|raiz1^2+(-3)^2+1^2 =7raiz11

Passo 5

Análise de r2 e r3:
Vetores direção não são paralelos. Tentamos interseção resolvendo
s = k-1, s=1, 2s-3=1-k
Da segunda s=1; da primeira k=2. Na terceira 2cdot1-3=-1 e 1-2=-1, coincide. Logo as retas se intersectam em
P=(1,1,-1)
Como se cruzam, a distância é zero.

Resposta

r1 e r2: paralelas distintas, distância raiz2.
r1 e r3: reversas (skew), distância tfrac7raiz11.
r2 e r3: concorrentes, interseção em (1,1,-1), distância 0.

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