Dadas as três retas e de equações: e r3:=cx=k-1 y=1 z=-k+1 k in R,
Nos itens a , b e c, diga justificando, qual é a posição relativa e a distância entre as retas. E, se for o caso, qual a sua interseção. Nos cálculos, use somente a fórmula da distância entre os planos a x+b y+c z=d e a x+b y+c z=d^prime que é |d-d^prime| /|(a, b, c)|. As demais fórmulas devem ser justificadas como foram encontradas: r2 e r3.
Passo 1
Neste exercício vamos estudar as posições relativas dos pares de retas r1 com r2, r1 com r3 e r2 com r3, decidindo se são paralelas, coincidentes, concorrentes ou reversas (skew), e calcular sua distância.
Para isso precisamos:
Extrair de cada reta um ponto P e um vetor direção v.
Comparar vetores direção para ver paralelismo.
Resolver os sistemas das equações paramétricas para checar interseção.
Calcular distâncias usando unicamente a fórmula da distância entre planos paralelos
dist=|d-d'||(a,b,c)|
definindo planos adequados que contenham cada reta.
Análise de r1 e r2:
As direções coincidem mas as retas não coincidem, pois
P1-P2=(1,-1,0)-(0,0,-3)=(1,-1,3)
não é múltiplo escalar de v1=(1,1,2). São retas paralelas distintas.
Para medir a distância, escolhemos um vetor normal n perpendicular a v1, por exemplo n=(1,-1,0).
O plano que contém r1 é
Análise de r1 e r3:
Os vetores direção não são paralelos, então podem ser concorrentes ou reversas. Tentamos interseção resolvendo
1+t = -1+k, -1+t=1, 2t=1-k
Da segunda equação t=2. Da primeira, 2-k=-2Rightarrow k=4. Na terceira teríamos 4+4=1, impossível. Logo não se intersectam: são reversas (skew).
Para a distância usamos planos paralelos com normal n= v1times v3. Calcula-se
v1times v3 =det i& j& k1&1&21&0&-1 =(-1,3,-1),
podendo usar n=(1,-3,1). O plano contendo r1 satisfaz
x-3y+z= ncdot P1=1-3(-1)+0=4,
e o plano paralelo contendo r3 satisfaz
x-3y+z= ncdot P3=-1-3(1)+1=-3
Pela fórmula,
dist(r1,r3) =|4-(-3)|raiz1^2+(-3)^2+1^2 =7raiz11
Passo 5
Análise de r2 e r3:
Vetores direção não são paralelos. Tentamos interseção resolvendo
s = k-1, s=1, 2s-3=1-k
Da segunda s=1; da primeira k=2. Na terceira 2cdot1-3=-1 e 1-2=-1, coincide. Logo as retas se intersectam em
P=(1,1,-1)
Como se cruzam, a distância é zero.
Resposta
r1 e r2: paralelas distintas, distância raiz2. r1 e r3: reversas (skew), distância tfrac7raiz11. r2 e r3: concorrentes, interseção em (1,1,-1), distância 0.