Mostre as seguintes relações
E cup F=, e .

Passo 1

Resumo do enunciado: temos que mostrar duas igualdades em teoria de conjuntos, envolvendo união, interseção e complemento. O conteúdo principal são as leis da álgebra de conjuntos, em particular a partição de um conjunto por outro e o uso do complemento.

Passo 2

Para provar F = (F cap E) cup (F cap E^C), começamos mostrando a inclusão F subseteq (F cap E) cup (F cap E^C). Seja um elemento xin F. Como ou xin E ou xnotin E, temos dois casos: se xin E, então xin Fcap E; se xnotin E, então xin E^C e por isso xin Fcap E^C. Em ambos os casos x pertence à união (Fcap E)cup(Fcap E^C).
Agora mostramos a inclusão inversa (F cap E) cup (F cap E^C) subseteq F. Se x está em (Fcap E)cup(Fcap E^C), então x está em Fcap E ou em Fcap E^C. Em qualquer dos dois, xin F. Logo a união está contida em F.

Passo 3

Para provar E cup F = E cup (E^C cap F), começamos por E cup F subseteq E cup (E^C cap F). Seja xin Ecup F. Se xin E, está claro que x está na união à direita. Se xnotin E, então xin F e xin E^C, logo xin E^Ccap F, e portanto x está em Ecup(E^Ccap F).
Finalmente a inclusão E cup (E^C cap F) subseteq E cup F é imediata, pois qualquer x que esteja em E ou em E^Ccap F ou está em E (logo em Ecup F) ou está em F (pois pertence a E^Ccap F), e portanto está em Ecup F.

Resposta

As duas relações estão validadas:
F = (F cap E) cup (F cap E^C)
E cup F = E cup (E^C cap F)

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