Mostre as seguintes relações
, e
.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos que mostrar duas igualdades em teoria de conjuntos, envolvendo união, interseção e complemento. O conteúdo principal são as leis da álgebra de conjuntos, em particular a partição de um conjunto por outro e o uso do complemento.
Passo 2
Para provar
, começamos mostrando a inclusão
. Seja um elemento
. Como ou
ou
, temos dois casos: se
, então
; se
, então
e por isso
. Em ambos os casos
pertence à união
.
Agora mostramos a inclusão inversa . Se
está em
, então
está em
ou em
. Em qualquer dos dois,
. Logo a união está contida em
.
Agora mostramos a inclusão inversa
Passo 3
Para provar
, começamos por
. Seja
. Se
, está claro que
está na união à direita. Se
, então
e
, logo
, e portanto
está em
.
Finalmente a inclusão é imediata, pois qualquer
que esteja em
ou em
ou está em
(logo em
) ou está em
(pois pertence a
), e portanto está em
.
Finalmente a inclusão
Resposta
As duas relações estão validadas: