Dadas variáveis
i.i.d. com
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o limite, quando $ n $ vai para o infinito, da razão entre a soma das primeiras $ n $ variáveis $ X_i $ e a soma dos quadrados dessas mesmas $ X_i $. Estamos trabalhando com variáveis independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com média $ \mu $ e variância $ \sigma^2 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria das probabilidades, especificamente a Lei dos Grandes Números.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são essas somas que aparecem no problema. A soma $ X_1 + X_2 + \cdots + X_n $ é simplesmente a soma das primeiras $ n $ variáveis aleatórias, e a soma $ X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2 $ é a soma dos quadrados dessas variáveis.
Passo 3
Vamos aplicar a Lei dos Grandes Números, que nos diz que, para variáveis i.i.d., a média amostral converge quase certamente para a média verdadeira $ \mu $ quando $ n $ tende ao infinito. Assim, temos:
Isso significa que a soma das primeiras $ n $ variáveis $ X_i $ cresce aproximadamente como $ n\mu $ para grandes $ n $.
Passo 4
Agora, vamos analisar a soma dos quadrados $ X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2 $. Novamente, usando a Lei dos Grandes Números, a média amostral dos quadrados converge para a esperança de $ X_i^2 $:
Sabemos que $ \mathbb{E}\left[X_1^2\right] = Var(X_1) + \left(\mathbb{E}[X_1]\right)^2 = \sigma^2 + \mu^2 $.
Passo 5
Agora, queremos encontrar o limite da razão entre essas duas somas:
Dividimos o numerador e o denominador por $ n $ para facilitar:
Resposta
O limite é $ \dfrac{\mu}{\sigma^{2} + \mu^{2}} $.