Uma variável aleatória Xn tem distribuição chi^2 (chiquadrado) com n graus de liberdade se Xn tem a mesma distribuição de
Z1^2+cdots+Zn^2
onde Z1, ldots, Zn são variáveis i.i.d. com distribuição normal padrão. Sabendo disso, faça o que se pede
a) Mostre que a função geradora de momentos de X1 é dada por M1(t)=(1-2 t)^-1 / 2, para t>1 / 2.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X_1 $ que segue a distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade. Nosso objetivo aqui é encontrar a função geradora de momentos (FGM) dessa variável, que a gente vai chamar de $ M_1(t) $. A FGM é uma ferramenta poderosa na estatística que ajuda a entender melhor o comportamento das variáveis aleatórias. Para resolver isso, vamos precisar saber como funciona a distribuição normal e como calcular momentos usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que $ X_1 = Z_1^2 $, onde $ Z_1 $ é uma variável normal padrão, ou seja, $ Z_1 \sim N(0,1) $. A função geradora de momentos de $ X_1 $ é definida como:
X1 = Z1^2
Aqui, $ \mathbb{E} $ representa o valor esperado.

Passo 3

Vamos substituir $ X_1 $ por $ Z_1^2 $ na expressão da FGM:
X1
Agora, precisamos calcular essa expectativa. Para isso, usamos a definição de valor esperado para uma variável contínua:
Z1^2
Onde $ f_{Z_1}(z) $ é a função de densidade da variável $ Z_1 $.

Passo 4

Sabemos que $ Z_1 $ segue a distribuição normal padrão, então sua densidade é:
Z1
Substituindo isso na integral:
fZ1(z) = 1raiz2pi e^-z^22

Passo 5

Agora, a integral que temos é da forma:
integral-infty^infty e^a z^2 , dz
Sabemos que essa integral converge somente se $ a < 0 $. No nosso caso, $ a = t - \frac{1}{2} $, então para a integral existir, precisamos que:
a < 0
Mas o enunciado pede para $ t > \frac{1}{2} $, então parece que houve um equívoco. Na verdade, a integral converge para $ t < \frac{1}{2} $, mas a expressão final da FGM será válida para esse intervalo.

Passo 6

Utilizando a fórmula da integral gaussiana:
integral-infty^infty e^a z^2 , dz = raizpi-a, para a < 0
Aplicando isso no nosso caso:
Simplificando:
M1(t) = 1raiz2pi cdot raizpi12 - t = 1raiz2pi cdot raizpi12 - t = 1raiz2 cdot 1raiz12 - t

Resposta

A função geradora de momentos de $ X_1 $ é:
X1

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