Uma variável aleatória
tem distribuição
(chiquadrado) com
graus de liberdade se
tem a mesma distribuição de
onde
são variáveis i.i.d. com distribuição normal padrão. Sabendo disso, faça o que se pede
a) Mostre que a função geradora de momentos de
é dada por
, para
.
a) Mostre que a função geradora de momentos de
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X_1 $ que segue a distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade. Nosso objetivo aqui é encontrar a função geradora de momentos (FGM) dessa variável, que a gente vai chamar de $ M_1(t) $. A FGM é uma ferramenta poderosa na estatística que ajuda a entender melhor o comportamento das variáveis aleatórias. Para resolver isso, vamos precisar saber como funciona a distribuição normal e como calcular momentos usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que $ X_1 = Z_1^2 $, onde $ Z_1 $ é uma variável normal padrão, ou seja, $ Z_1 \sim N(0,1) $. A função geradora de momentos de $ X_1 $ é definida como:
Aqui, $ \mathbb{E} $ representa o valor esperado.
Passo 3
Vamos substituir $ X_1 $ por $ Z_1^2 $ na expressão da FGM:
Agora, precisamos calcular essa expectativa. Para isso, usamos a definição de valor esperado para uma variável contínua:
Onde $ f_{Z_1}(z) $ é a função de densidade da variável $ Z_1 $.
Passo 4
Sabemos que $ Z_1 $ segue a distribuição normal padrão, então sua densidade é:
Substituindo isso na integral:
Passo 5
Agora, a integral que temos é da forma:
Sabemos que essa integral converge somente se $ a < 0 $. No nosso caso, $ a = t - \frac{1}{2} $, então para a integral existir, precisamos que:
Mas o enunciado pede para $ t > \frac{1}{2} $, então parece que houve um equívoco. Na verdade, a integral converge para $ t < \frac{1}{2} $, mas a expressão final da FGM será válida para esse intervalo.
Passo 6
Utilizando a fórmula da integral gaussiana:
Aplicando isso no nosso caso:
Simplificando:
Resposta
A função geradora de momentos de $ X_1 $ é: