Sejam X 〜 Geometrica§ e Y 〜 Exponencial
para
e
.
b) Mostre que
para
.
b) Mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória $ Y $ que segue uma distribuição Exponencial com parâmetro $ \lambda $. O que precisamos mostrar é que a função geradora de momentos (MGF) dessa distribuição é dada por:
para $ t < \lambda $. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é a função geradora de momentos e como calcular a expectativa de $ e^{tY} $.
Passo 2
A função geradora de momentos (MGF) de uma variável aleatória $ Y $ é definida como:
Isso significa que precisamos calcular a expectativa do exponencial de $ tY $.
Passo 3
Como $ Y $ segue uma distribuição Exponencial com parâmetro $ \lambda $, a função densidade de probabilidade (pdf) de $ Y $ é:
Então, podemos escrever a expectativa como uma integral:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, a integral fica:
Passo 5
Resolvendo a integral:
Então, substituindo de volta:
Resposta
Portanto, a função geradora de momentos de $ Y $ é:
para $ t < \lambda $.