Sejam X 〜 Geometrica§ e Y 〜 Exponencial (lambda) para p in(0,1) e lambda>0.
b) Mostre que
MY(t)=lambdalambda-t,
para t.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória $ Y $ que segue uma distribuição Exponencial com parâmetro $ \lambda $. O que precisamos mostrar é que a função geradora de momentos (MGF) dessa distribuição é dada por:
Y
para $ t < \lambda $. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é a função geradora de momentos e como calcular a expectativa de $ e^{tY} $.

Passo 2

A função geradora de momentos (MGF) de uma variável aleatória $ Y $ é definida como:
Y
Isso significa que precisamos calcular a expectativa do exponencial de $ tY $.

Passo 3

Como $ Y $ segue uma distribuição Exponencial com parâmetro $ \lambda $, a função densidade de probabilidade (pdf) de $ Y $ é:
Y
Então, podemos escrever a expectativa como uma integral:
lambda

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
e^ty cdot lambda e^-lambda y = lambda e^(lambda - t)y
Agora, a integral fica:
MY(t) = lambda integral0^infty e^-(lambda - t)y , dy

Passo 5

Resolvendo a integral:
integral0^infty e^-(lambda - t)y , dy = 1lambda - t para t < lambda
Então, substituindo de volta:
MY(t) = lambda cdot 1lambda - t = lambdalambda - t

Resposta

Portanto, a função geradora de momentos de $ Y $ é:
Y
para $ t < \lambda $.

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