Sejam
variáveis aleatórias i.i.d. com função geradora de momento
para
para algum
. Defina
e
a função geradora de momento de
.
b) Mostre que
onde
.
b) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) e suas funções geradoras de momento (FGM). Nosso objetivo é mostrar que, quando somamos essas variáveis e normalizamos por $ n $, a FGM dessa soma se aproxima de $ e^{t \mu} $, onde $ \mu $ é a média das variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a função geradora de momento e como ela se comporta quando somamos variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função geradora de momento (FGM). Para uma variável aleatória $ X $, a FGM é definida como:
Ela é uma ferramenta poderosa porque encapsula todas as informações sobre os momentos de $ X $.
Passo 3
Agora, consideramos $ S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n $. Como as variáveis $ X_i $ são i.i.d., a FGM de $ S_n $ é o produto das FGMs individuais:
Isso porque, para variáveis independentes, a FGM do somatório é o produto das FGMs.
Passo 4
Queremos a FGM de $ \frac{S_n}{n} $. Vamos chamar essa variável de $ Y_n = \frac{S_n}{n} $. A FGM de $ Y_n $ é:
Passo 5
Nosso objetivo é calcular o limite dessa expressão quando $ n $ tende ao infinito:
Para isso, vamos usar uma aproximação da FGM quando $ t $ é pequeno (já que $ \frac{t}{n} $ fica menor à medida que $ n $ cresce). Usando o desenvolvimento de Taylor da FGM em torno de 0:
onde $ \mu = \mathbf{E}[X_1] $.
Passo 6
Substituindo essa aproximação na expressão anterior:
Agora, lembramos que $ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{a}{n}\right)^n = e^a $. Aplicando isso aqui, com $ a = t \mu $:
Resposta
Portanto, mostramos que: