Sejam X1, X2, ldots variáveis aleatórias i.i.d. com função geradora de momento M(t) para |t| para algum t0>1. Defina Sn=X1+cdots+Xn e Mn(t) a função geradora de momento de Sn / n.
b) Mostre que
lim n infty Mn(t)=e^t mu
onde mu=E[X1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) e suas funções geradoras de momento (FGM). Nosso objetivo é mostrar que, quando somamos essas variáveis e normalizamos por $ n $, a FGM dessa soma se aproxima de $ e^{t \mu} $, onde $ \mu $ é a média das variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a função geradora de momento e como ela se comporta quando somamos variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função geradora de momento (FGM). Para uma variável aleatória $ X $, a FGM é definida como:
X
Ela é uma ferramenta poderosa porque encapsula todas as informações sobre os momentos de $ X $.

Passo 3

Agora, consideramos $ S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n $. Como as variáveis $ X_i $ são i.i.d., a FGM de $ S_n $ é o produto das FGMs individuais:
Sn = X1 + X2 + cdots + Xn
Isso porque, para variáveis independentes, a FGM do somatório é o produto das FGMs.

Passo 4

Queremos a FGM de $ \frac{S_n}{n} $. Vamos chamar essa variável de $ Y_n = \frac{S_n}{n} $. A FGM de $ Y_n $ é:
Snn

Passo 5

Nosso objetivo é calcular o limite dessa expressão quando $ n $ tende ao infinito:
n
Para isso, vamos usar uma aproximação da FGM quando $ t $ é pequeno (já que $ \frac{t}{n} $ fica menor à medida que $ n $ cresce). Usando o desenvolvimento de Taylor da FGM em torno de 0:
limn to infty [MX(tn)]^n
onde $ \mu = \mathbf{E}[X_1] $.

Passo 6

Substituindo essa aproximação na expressão anterior:
[1 + tn mu]^n
Agora, lembramos que $ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{a}{n}\right)^n = e^a $. Aplicando isso aqui, com $ a = t \mu $:
limn to infty (1 + an)^n = e^a

Resposta

Portanto, mostramos que:
lim n infty Mn(t) = e^t mu

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