Sejam X 〜 Geometrica§ e Y 〜 Exponencial
para
e
.
d) Calcule
para mostrar que
e compare com o resultado do item anterior.
d) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a probabilidade de $ \mathbf{P}(X_n > t) $, onde $ X $ segue uma distribuição Geométrica com parâmetro $ p $ e $ Y $ segue uma distribuição Exponencial com parâmetro $ \lambda $. Nosso objetivo é mostrar que, quando $ n $ tende para infinito, essa probabilidade se aproxima de $ e^{-\lambda t} $ e comparar esse resultado com o que vimos no item anterior. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre as distribuições Geométrica e Exponencial e usar algumas propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma distribuição Geométrica. Se $ X $ segue $ Geom§ $, isso significa que $ X $ conta o número de tentativas até obter o primeiro sucesso, com cada tentativa tendo probabilidade $ p $ de sucesso. A probabilidade de $ X $ ser maior que $ n $ é:
Agora, queremos encontrar $ \mathbf{P}(X_n > t) $. Para isso, precisamos definir como $ X_n $ está relacionado com $ X $. Geralmente, quando estudamos a aproximação de distribuições discretas por contínuas, fazemos uma escala. Vamos supor que $ X_n = \frac{X}{n} $, ou seja, estamos ajustando $ X $ para uma escala contínua à medida que $ n $ cresce.
Passo 3
Com essa definição, queremos calcular:
Como $ X $ é Geométrico, temos:
Agora, precisamos escolher $ p $ de forma que à medida que $ n $ cresce, essa expressão se aproxime de uma distribuição Exponencial. Uma maneira comum de fazer isso é escolher $ p $ em função de $ n $, por exemplo:
Assim, substituindo:
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando $ n $ tende para infinito:
Esse limite é conhecido e resulta na função exponencial:
Então, mostramos que:
Isso é exatamente a função de sobrevivência da distribuição Exponencial com parâmetro $ \lambda $, ou seja, $ Y \sim Exponencial(\lambda) $.
Resposta
Portanto, demonstramos que:
Esse resultado coincide com o que vimos no item anterior, confirmando que, quando escalamos a distribuição Geométrica adequadamente e deixamos $ n $ crescer, ela se comporta como uma distribuição Exponencial.