Dado que:
e
prove que os conjuntos em (16) são abertos em
. Também prove a igualdade em (17).
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas equações:
O objetivo é provar que os conjuntos descritos na primeira equação são abertos no espaço $ X $ e também provar a igualdade na segunda equação. Para isso, vamos precisar entender conceitos de topologia, como conjuntos abertos e produtos de espaços topológicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto aberto. Em topologia, um conjunto aberto é aquele que, intuitivamente, não inclui suas “bordas”. Nos espaços de produto, um conjunto é aberto se a sua “projeção” em cada componente é aberta.
Então, dado $ \pi_j $ como a projeção em cada componente $ X_j $, $ \pi_j^{-1}(U_j) $ representa todos os pontos em $ X $ que, na componente $ j $, estão em $ U_j $.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a primeira equação:
Isso significa que o inverso da projeção de $ U_j $ é o produto cartesiano dos conjuntos $ U_{i, j} $. Como sabemos que produtos de conjuntos abertos são abertos no espaço produto (pela definição da topologia do produto), se cada $ U_{i, j} $ é aberto em $ X_i $, então $ \prod_{i=1}^{n} U_{i, j} $ também é aberto em $ X $.
Passo 4
Com isso, provamos que os conjuntos em (16) são abertos em $ X $, porque são produtos de conjuntos abertos em cada componente $ X_i $.
Agora, vamos para a segunda parte: provar a igualdade em (17):
Passo 5
Aqui, $ B_X(x; r) $ representa uma bola aberta de raio $ r $ centrada em $ x $ no espaço $ X $. A igualdade está dizendo que essa bola no espaço produto $ X $ é igual ao produto das bolas abertas nas componentes $ X_j $.
Para provar isso, observe que um ponto $ y $ está na bola $ B_X(x; r) $ se e somente se a distância entre $ y $ e $ x $ no espaço $ X $ é menor que $ r $. Se considerarmos que a distância no produto é definida como a soma ou outra combinação das distâncias nas componentes, então $ y $ estará dentro dessa bola se, em cada componente $ j $, a distância entre $ y_j $ e $ x_j $ for menor que $ r $. Ou seja:
Passo 6
Portanto, $ B_X(x; r) $ é exatamente o produto das bolas $ B_{X_j}(x_j; r) $ em cada componente $ X_j $:
Resposta
Provar que os conjuntos em (16) são abertos em $ X $ e que $ B_{X}(x ; r)=\prod_{j=1}^{n} B_{X_{j}}\left(x_{j} ; r\right) $ é válido conforme demonstrado nos passos acima.