Prove que se
e/ou
são finitos, então
é igual à soma dos elementos de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, se o conjunto $ X $ ou o conjunto $ {x \in X: f(x) > 0} $ são finitos, então a soma $ \sum_{x \in X} f(x) $, definida como o supremo das somas sobre subconjuntos finitos de $ X $, é maior ou igual a zero e igual à soma dos elementos de $ f(X) $. Vamos usar conceitos de análise matemática, como supremo e somas de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ \sum_{x \in X} f(x) $. Aqui, a soma é definida como o supremo das somas de $ f(x) $ sobre todos os subconjuntos finitos de $ X $. O supremo é o menor número que é maior ou igual a todas as somas possíveis.
Passo 3
Como $ X $ ou $ {x \in X: f(x) > 0} $ são finitos, isso significa que só temos um número finito de termos positivos para somar. Portanto, não há infinitos termos positivos que poderiam fazer a soma crescer sem limite.
Passo 4
Agora, vamos ver por que $ \sum_{x \in X} f(x) \geq 0 $. Como estamos somando apenas valores de $ f(x) $ que são positivos (ou considerando todos os $ f(x) $ se $ X $ for finito), a soma de números positivos é sempre maior ou igual a zero.
Passo 5
Para mostrar que a soma definida como supremo é igual à soma dos elementos de $ f(X) $, observe que, como $ X $ ou $ {x \in X: f(x) > 0} $ são finitos, o supremo das somas sobre subconjuntos finitos de $ X $ na verdade é a própria soma de todos os $ f(x) $ em $ X $. Não há subconjunto maior que o próprio $ X $, então o supremo alcança exatamente a soma completa.
Resposta
Portanto, se $ X $ ou $ {x \in X: f(x) > 0} $ são finitos, então $ \sum_{x \in X} f(x) \geq 0 $ e é igual à soma dos elementos de $ f(X) $.