Seja (X, M, mu) um espaço de medida com mu finita. Prove que mu(E)<+infty para todo E in M.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos dá um espaço de medida (X, M, mu) onde mu é uma medida finita, ou seja, mu(X) < +infty. A gente precisa provar que, para qualquer conjunto E que pertence a M, a medida de E também é finita, ou seja, mu(E) < +infty.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um espaço de medida. É basicamente um conjunto X acompanhado de uma coleção M de subconjuntos de X (chamados de measuráveis) e uma medida mu que atribui um número não negativo a cada conjunto em M.

Passo 3

Agora, já que mu é uma medida finita, isso quer dizer que a medida do conjunto todo X é finita: mu(X) < +infty. Isso é importante porque serve como um “limite” para as medidas de quaisquer subconjuntos.

Passo 4

Vamos considerar um conjunto qualquer E in M. Como E é um subconjunto de X, temos que E subseteq X. De acordo com as propriedades da medida, se E subseteq X, então mu(E) <= mu(X).

Passo 5

Como já estabelecemos que mu(X) < +infty, e mu(E) <= mu(X), concluímos que mu(E) < +infty. Ou seja, a medida de qualquer conjunto mensurável E também é finita.

Resposta

Portanto, mostramos que mu(E) < +infty para todo E in M.

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