Seja
um espaço de medida com
finita. Prove que
para todo
.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos dá um espaço de medida
onde
é uma medida finita, ou seja,
. A gente precisa provar que, para qualquer conjunto
que pertence a
, a medida de
também é finita, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um espaço de medida. É basicamente um conjunto
acompanhado de uma coleção
de subconjuntos de
(chamados de measuráveis) e uma medida
que atribui um número não negativo a cada conjunto em
.
Passo 3
Agora, já que
é uma medida finita, isso quer dizer que a medida do conjunto todo
é finita:
. Isso é importante porque serve como um “limite” para as medidas de quaisquer subconjuntos.
Passo 4
Vamos considerar um conjunto qualquer
. Como
é um subconjunto de
, temos que
. De acordo com as propriedades da medida, se
, então
.
Passo 5
Como já estabelecemos que
, e
, concluímos que
. Ou seja, a medida de qualquer conjunto mensurável
também é finita.
Resposta
Portanto, mostramos que
para todo
.