Com a mesma notação da Definição 1.8, prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a álgebra de Borel $ B_X $ em um espaço $ X $ é igual à σ-álgebra gerada pelos conjuntos abertos da topologia $ \tau $ de $ X $. Basicamente, precisamos mostrar que $ B_X $ é formada exatamente pelos conjuntos que podem ser construídos a partir dos abertos usando operações como contagem de uniões, interseções e complementos. Para isso, vamos usar conceitos de topologia e teoria das σ-álgebras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma σ-álgebra. Uma σ-álgebra em um conjunto $ X $ é uma coleção de subconjuntos de $ X $ que inclui $ X $ em si, é fechada sob complementos e sob uniões enumeráveis de seus membros. Isso significa que se você tem conjuntos na σ-álgebra, também tem seus complementos e qualquer união infinita deles.
Passo 3
Agora, a álgebra de Borel $ B_X $ é definida como a menor σ-álgebra que contém todos os conjuntos abertos da topologia $ \tau $ de $ X $. Em outras palavras, $ B_X $ é formado por todos os conjuntos que podem ser obtidos a partir dos abertos usando operações permitidas pelas σ-álgebras (como uniões, interseções e complementos).
Passo 4
A notação $ \sigma({F \subset X \mid F \in \tau}) $ representa exatamente a σ-álgebra gerada pelos conjuntos abertos da topologia $ \tau $. Portanto, para provar que $ B_X = \sigma({F \subset X \mid F \in \tau}) $, precisamos mostrar que a álgebra de Borel é, de fato, a σ-álgebra gerada pelos abertos.
Passo 5
Por definição, $ B_X $ é a menor σ-álgebra que contém todos os abertos. Isso significa que qualquer σ-álgebra que contenha todos os abertos deve também conter $ B_X $. Por outro lado, $ \sigma({F \subset X \mid F \in \tau}) $ é justamente a σ-álgebra gerada pelos abertos, ou seja, a menor σ-álgebra contendo todos os abertos. Portanto, ambas as definições coincidem.
Passo 6
Assim, concluímos que a álgebra de Borel $ B_X $ é igual à σ-álgebra gerada pelos conjuntos abertos da topologia $ \tau $ de $ X $. Não há conjuntos em $ B_X $ que não possam ser construídos a partir dos abertos usando as operações permitidas pelas σ-álgebras, e vice-versa.
Resposta
Portanto, mostramos que $ B_{X} = \sigma({F \subset X \mid F \in \tau}) $, ou seja, a álgebra de Borel é igual à σ-álgebra gerada pelos conjuntos abertos da topologia $ \tau $ de $ X $.