1. Dado p(x)=x^{4}-i x^{3}-(1-2 i) x^{2}+3 x+1-3 i, calcule o valor de p no ponto x=1+i.

Passo 1

O enunciado dá
p(x)=x^{4}-i\,x^{3}-(1-2\,i)\,x^{2}+3\,x+1-3\,i
e pede p(1+i). Vamos primeiro calcular as potências de 1+i e depois substituir em cada termo de p.

Passo 2

Calcular as potências de 1+i:
(1+i)^{2}=1+2\,i+i^{2}=2\,i,
(1+i)^{3}=(1+i)^{2}(1+i)=2\,i\,(1+i)=-2+2\,i,
(1+i)^{4}=\bigl((1+i)^{2}\bigr)^{2}=(2\,i)^{2}=-4.

Passo 3

Avaliar cada parcela de p(x) em x=1+i:
x^{4}=-4,
-i\,x^{3}=-i(-2+2\,i)=2+2\,i,
-(1-2\,i)\,x^{2}=-(1-2\,i)\,(2\,i)=-4-2\,i,
3\,x=3+3\,i,
1-3\,i=1-3\,i.

Passo 4

Somar todas as parcelas:
-4 \;+\;(2+2\,i)\;+\;(-4-2\,i)\;+\;(3+3\,i)\;+\;(1-3\,i) =-2.

Resposta

-2

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