(2,0) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
f(x)=x^{3}-3 x^{2}-12 x .

Passo 1

O enunciado pede os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão da função
f(x)=x^{3}-3x^{2}-12x.
Para isso, vamos usar a segunda derivada f''(x): onde ela for positiva, a curva é côncava para cima; onde for negativa, côncava para baixo; e zeros de f''(x) são candidatos a pontos de inflexão.

Passo 2

Calculamos a primeira e a segunda derivadas:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-3x^{2}-12x\bigr)=3x^{2}-6x-12,
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-6x-12\bigr)=6x-6.

Passo 3

Encontramos onde a segunda derivada se anula, resolvendo
6x-6=0
o que dá x=1. Esse é o único candidato a ponto de inflexão.

Passo 4

Analisamos o sinal de f''(x)=6(x-1):
  • Para x<1, x-1<0 implica f''(x)<0, logo a função é côncava para baixo em (-\infty,1).
  • Para x>1, x-1>0 implica f''(x)>0, logo a função é côncava para cima em (1,\infty).

Passo 5

O ponto de inflexão ocorre em x=1. Seu valor em y é
f(1)=1^{3}-3\cdot1^{2}-12\cdot1=1-3-12=-14.
Portanto o ponto de inflexão é (1,-14).

Resposta

A função é côncava para baixo em (-\infty,1) e côncava para cima em (1,\infty).
O ponto de inflexão é (1,-14).

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