Dado u=(1,-2,2) achar v in R^3 cujas coordenadas satisfazem a equação 2 x+2 y+z=0 e tal que |v|=|u+v|=|u|.

Passo 1

O enunciado dá o vetor ,u=(1,-2,2) em R^3 e pede um vetor ,v=(x,y,z) que satisfaça a equação do plano
2x+2y+z=0
e que tenha norma igual à de u e, ao mesmo tempo, faça |u+v| também igual a |u|.
O conteúdo é geometria analítica em R^3: vamos usar propriedades de produto interno e norma.

Passo 2

Calculemos primeiro |u|. Temos
|u|^2 = 1^2 + (-2)^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9,
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|u| = 3

Passo 3

As condições a impor são:
(i) v está no plano, isto é
2x + 2y + z = 0
(ii) |v| = |u| = 3, ou seja
x^2 + y^2 + z^2 = 9
(iii) |u+v| = 3, que em termos de quadrados de normas e produto interno equivale a
|u+v|^2 = |u|^2 + 2,ucdot v + |v|^2 = 9 + 2,ucdot v + 9 = 18 + 2,ucdot v
Como queremos |u+v|^2 = 3^2 = 9, temos
18 + 2,ucdot v = 9 Longrightarrow ucdot v = -tfrac92
Escrevendo ucdot v = x -2y +2z, a terceira equação fica
x - 2y + 2z = -tfrac92

Passo 4

Resumindo, o sistema é
2x + 2y + z = 0, x - 2y + 2z = -tfrac92, x^2 + y^2 + z^2 = 9
Das duas primeiras equações resolvemos z em função de x,y. Da primeira,
z = -2x - 2y
Substituindo na segunda:
x -2y + 2(-2x -2y) = -tfrac92 Longrightarrow -3x -6y = -tfrac92 Longrightarrow x + 2y = tfrac32
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x = tfrac32 - 2y, z = -2l(tfrac32-2yr)-2y = -3 + 2y

Passo 5

Agora impomos |v|^2=9. Substituindo
v = l(tfrac32-2y,;y,;-3+2yr)
em x^2+y^2+z^2=9, obtemos (após simplificar)
4y^2 -8y +1 = 0
Este é um trinômio quadrado:
4y^2 -8y +1=0 Longrightarrow y = 8 pm raiz64 -168 = 1 pm raiz32

Passo 6

Para cada valor de y calculamos x e z:
Se y = 1 + tfracraiz32, então
x = tfrac32 - 2l(1 + tfracraiz32r) = -tfrac12 - raiz3, z = -3 + 2l(1 + tfracraiz32r) = -1 + raiz3
Se y = 1 - tfracraiz32, então
x = tfrac32 - 2l(1 - tfracraiz32r) = -tfrac12 + raiz3, z = -3 + 2l(1 - tfracraiz32r) = -1 - raiz3

Resposta

As duas soluções v são
v1 = l(-tfrac12 - raiz3,;1 + tfracraiz32,;-1 + raiz3r), v2 = l(-tfrac12 + raiz3,;1 - tfracraiz32,;-1 - raiz3r)

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