Dados u=(2,-1,1) e v(-1,2,1). Achar w in R^3 tal que w perp u, w perp v e |w|=raiz3.

Passo 1

A questão pede para encontrar um vetor winR^3 ortogonal a u=(2,-1,1) e v=(-1,2,1), além de ter comprimento |w|=raiz3. O conteúdo principal envolve produto vetorial (para garantir a ortogonalidade) e normalização de vetor.

Passo 2

Para achar um vetor ortogonal a u e v, usamos o produto vetorial. Lembrando que para u=(u1,u2,u3) e v=(v1,v2,v3) vale:
u times v = (u2v3 - u3v2,; u3v1 - u1v3,; u1v2 - u2v1)
Aplicando em u=(2,-1,1) e v=(-1,2,1) temos:
u times v = ((-1)cdot1 - 1cdot2,; 1cdot(-1) - 2cdot1,; 2cdot2 - (-1)cdot(-1)) = (-1-2,; -1-2,; 4-1) = (-3,-3,3)

Passo 3

O vetor (-3,-3,3) é ortogonal a u e a v, mas seu comprimento é:
|utimes v| = raiz(-3)^2 + (-3)^2 + 3^2 = raiz27 = 3raiz3

Passo 4

Para ajustar o comprimento para raiz3, primeiro obtemos o versor dividindo por 3raiz3, depois multiplicamos por raiz3:
hat n = utimes v3raiz3 = l(-1raiz3, -1raiz3, 1raiz3r),
w = raiz3,hat n = (-1,-1,1)

Resposta

(-1,-1,1)

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