Determine a natureza das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série
converge ou diverge. Isso está ligado ao conteúdo de séries infinitas e aos testes de convergência. Para resolver, vamos precisar comparar essa série com uma série mais simples para ver como ela se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
. Olhando para o denominador,
é o termo de maior grau, então para grandes valores de
,
vai dominar os outros termos. Assim, podemos aproximar o denominador por
.
Passo 3
Com isso, o termo geral fica aproximadamente
. Agora, sabemos que a série
é uma p-série com
, e como
, essa p-série converge.
Passo 4
Para confirmar a natureza da nossa série original, vamos usar o Teste de Comparação Limitada (ou Teste do Limit Comparison). Calculamos o limite:
Passo 5
Simplificando o limite, dividimos numerador e denominador por
:
Como o limite é um número finito e positivo (1, nesse caso), o Teste de Comparação Limitada nos diz que ambas as séries têm o mesmo comportamento de convergência.
Passo 6
Já que a série de comparação
converge, pela conclusão do Teste de Comparação Limitada, a série original
também converge.
Resposta
A série
converge.