Determine a natureza das seguintes séries:
sumn=1^infty nn^3+n+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série sumn=1^infty nn^3 + n + 2 converge ou diverge. Isso está ligado ao conteúdo de séries infinitas e aos testes de convergência. Para resolver, vamos precisar comparar essa série com uma série mais simples para ver como ela se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: nn^3 + n + 2. Olhando para o denominador, n^3 é o termo de maior grau, então para grandes valores de n, n^3 vai dominar os outros termos. Assim, podemos aproximar o denominador por n^3.

Passo 3

Com isso, o termo geral fica aproximadamente nn^3 = 1n^2. Agora, sabemos que a série sumn=1^infty 1n^2 é uma p-série com p = 2, e como p > 1, essa p-série converge.

Passo 4

Para confirmar a natureza da nossa série original, vamos usar o Teste de Comparação Limitada (ou Teste do Limit Comparison). Calculamos o limite:
limn to infty nn^3 + n + 21n^2 = limn to infty n cdot n^2n^3 + n + 2 = limn to infty n^3n^3 + n + 2

Passo 5

Simplificando o limite, dividimos numerador e denominador por n^3:
limn to infty 11 + 1n^2 + 2n^3 = 11 + 0 + 0 = 1
Como o limite é um número finito e positivo (1, nesse caso), o Teste de Comparação Limitada nos diz que ambas as séries têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 6

Já que a série de comparação sum 1n^2 converge, pela conclusão do Teste de Comparação Limitada, a série original sum nn^3 + n + 2 também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty nn^3 + n + 2 converge.

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