Seja V=R^2=(x, y) mid x, y in R Podemos definir diversas operações +: R^2 times R^2 R^2 e . : R times R^2 R^2 em V Nos exemplos abaixo diga por que as operações definidas em cada item não fazem de R^2 um espaço vetorial.
(x1, y1)+(x2, y2) & =(2 x1-2 y1,-x1+y1) lambda(x, y) & =(3 lambda x,-lambda x)

Passo 1

O enunciado define em V=R^2 as operações:
(x1,y1)+(x2,y2)=(2x1-2y1,,-x1+y1)
lambda(x,y)=(3lambda x,,-lambda x)
Precisamos verificar quais axiomas de espaço vetorial são violados.

Passo 2

Verificando comutatividade da adição: para u=(x1,y1) e v=(x2,y2) temos
u+v=(2x1-2y1,,-x1+y1),
v+u=(2x2-2y2,,-x2+y2)
Como em geral (2x1-2y1,,-x1+y1)neq(2x2-2y2,,-x2+y2) se x1neq x2 ou y1neq y2, a adição não é comutativa, violando um axioma de espaço vetorial.

Passo 3

Verificando existência de elemento neutro aditivo: suponha que existe 0=(a,b) tal que para todo (x,y)in V valha
(x,y)+(a,b)=(x,y)
Isso dá o sistema
2x-2y=x, -x+y=y,
ou seja
x=2y, x=0
Isso só ocorre para x=y=0, não para todo vetor, logo não existe neutro aditivo.

Passo 4

Verificando identidade escalar: um axioma exige que 1cdot (x,y)=(x,y). Mas
1cdot(x,y)=(3cdot1cdot x,,-1cdot x)=(3x,,-x)neq(x,y)
para vetores gerais, logo a multiplicação escalar também falha.

Resposta

As operações violam axiomas fundamentais de espaço vetorial: a adição não é comutativa nem possui elemento neutro, e a multiplicação escalar falha em satisfazer 1cdot v=v.

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