Seja
Podemos definir diversas operações
e . :
em
Nos exemplos abaixo diga por que as operações definidas em cada item não fazem de
um espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado define em
as operações:
Precisamos verificar quais axiomas de espaço vetorial são violados.
Passo 2
Verificando comutatividade da adição: para
e
temos
Como em geral
se
ou
, a adição não é comutativa, violando um axioma de espaço vetorial.
Passo 3
Verificando existência de elemento neutro aditivo: suponha que existe
tal que para todo
valha
Isso dá o sistema
ou seja
Isso só ocorre para
, não para todo vetor, logo não existe neutro aditivo.
Passo 4
Verificando identidade escalar: um axioma exige que
. Mas
para vetores gerais, logo a multiplicação escalar também falha.
Resposta
As operações violam axiomas fundamentais de espaço vetorial: a adição não é comutativa nem possui elemento neutro, e a multiplicação escalar falha em satisfazer
.