Dado alpha in R, ache a transformação linear T: R^2 R^2 que é uma reflexão em torno da reta y=alpha x. Escreva em forma matricial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma transformação linear T: R^2 R^2 que faça uma reflexão em torno da reta y = alpha x , onde alpha é um número real. Isso está dentro do estudo de transformações lineares e reflexões na álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar reflexões matricialmente em relação a uma reta específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso de reflexões, queremos uma matriz que, quando aplicada a qualquer vetor no plano, reflita esse vetor em relação à reta dada.
A reta y = alpha x tem um ângulo theta com o eixo x, onde tan(theta) = alpha . Então, theta = arctan(alpha) .

Passo 3

Para construir a matriz de reflexão, usamos a seguinte fórmula:
R = cos(2theta) & sin(2theta) sin(2theta) & -cos(2theta)
Essa matriz realiza a reflexão de um vetor em relação a uma linha que forma um ângulo theta com o eixo x.

Passo 4

Vamos calcular 2theta . Sabemos que theta = arctan(alpha) , então:
2theta = 2 arctan(alpha)
Agora, usamos as identidades trigonométricas para cos(2theta) e sin(2theta) em termos de alpha :
cos(2theta) = 1 - alpha^21 + alpha^2
sin(2theta) = 2alpha1 + alpha^2

Passo 5

Substituindo esses valores na matriz R :
R = 1 - alpha^21 + alpha^2 & 2alpha1 + alpha^2 2alpha1 + alpha^2 & -1 - alpha^21 + alpha^2
Essa é a matriz que representa a transformação linear de reflexão em torno da reta y = alpha x .

Resposta

A transformação linear T que reflete vetores em relação à reta y = alpha x é dada pela matriz:
T = 1 - alpha^21 + alpha^2 & 2alpha1 + alpha^2 2alpha1 + alpha^2 & -1 - alpha^21 + alpha^2

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