Dado
, ache a transformação linear
que é uma reflexão em torno da reta
. Escreva em forma matricial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma transformação linear
que faça uma reflexão em torno da reta
, onde
é um número real. Isso está dentro do estudo de transformações lineares e reflexões na álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar reflexões matricialmente em relação a uma reta específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso de reflexões, queremos uma matriz que, quando aplicada a qualquer vetor no plano, reflita esse vetor em relação à reta dada.
A reta
tem um ângulo
com o eixo x, onde
. Então,
.
Passo 3
Para construir a matriz de reflexão, usamos a seguinte fórmula:
Essa matriz realiza a reflexão de um vetor em relação a uma linha que forma um ângulo
com o eixo x.
Passo 4
Vamos calcular
. Sabemos que
, então:
Agora, usamos as identidades trigonométricas para
e
em termos de
:
Passo 5
Substituindo esses valores na matriz
:
Essa é a matriz que representa a transformação linear de reflexão em torno da reta
.
Resposta
A transformação linear
que reflete vetores em relação à reta
é dada pela matriz: