Seja
onde
. Mostre que
é uma transformação linear e determine uma base para
e para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma transformação linear
que atua sobre polinômios de grau até 3. Especificamente,
, ou seja, a segunda derivada do polinômio
. Vamos precisar entender o que é uma transformação linear, o que são o núcleo (ou kernel) e a imagem (ou imagem) dessa transformação. Nosso objetivo é mostrar que
é uma transformação linear e encontrar bases para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer polinômios
e
e qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
-
(aditividade) -
(homogeneidade)
Vamos verificar isso para
:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Como as duas propriedades são satisfeitas,
é de fato uma transformação linear.
Passo 3
Agora, vamos determinar uma base para o núcleo de
, ou seja,
. O núcleo é o conjunto de todos os polinômios
em
tais que
.
Para que a segunda derivada de
seja zero,
deve ser um polinômio de grau no máximo 1, ou seja:
onde
e
são números reais. Então,
é o conjunto de todos os polinômios constantes e lineares.
Uma base para
é, portanto:
Passo 4
Por fim, vamos determinar uma base para a imagem de
, ou seja,
. A imagem é o conjunto de todas as saídas de
, ou seja, todos os polinômios que podem ser escritos como
para algum
em
.
Vamos considerar o grau de
:
- Se
é constante ou linear ( ), então . - Se
é quadrático ( ), então é uma constante. - Se
é cúbico ( ), então é linear.
Portanto,
consiste em todos os polinômios de grau no máximo 1, ou seja,
.
Uma base para
é, assim como para o núcleo:
Resposta
A transformação
é linear. Uma base para
é
e uma base para
também é
.