Seja D: P3(R) P3(R) onde D(p)=p^prime prime. Mostre que D é uma transformação linear e determine uma base para Ker(D) e para Im(D).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma transformação linear D que atua sobre polinômios de grau até 3. Especificamente, D(p) = p'' , ou seja, a segunda derivada do polinômio p . Vamos precisar entender o que é uma transformação linear, o que são o núcleo (ou kernel) e a imagem (ou imagem) dessa transformação. Nosso objetivo é mostrar que D é uma transformação linear e encontrar bases para Ker(D) e Im(D) .

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que D é uma transformação linear. Uma transformação T é linear se, para quaisquer polinômios p e q e qualquer escalar c , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. T(p + q) = T(p) + T(q) (aditividade)
  2. T(c cdot p) = c cdot T(p) (homogeneidade)
Vamos verificar isso para D :
  • Aditividade: D(p + q) = (p + q)'' = p'' + q'' = D(p) + D(q)
  • Homogeneidade: D(c cdot p) = (c cdot p)'' = c cdot p'' = c cdot D(p)
Como as duas propriedades são satisfeitas, D é de fato uma transformação linear.

Passo 3

Agora, vamos determinar uma base para o núcleo de D , ou seja, Ker(D) . O núcleo é o conjunto de todos os polinômios p em P3(R) tais que D(p) = p'' = 0 .
Para que a segunda derivada de p seja zero, p deve ser um polinômio de grau no máximo 1, ou seja:
p(x) = a + b x
onde a e b são números reais. Então, Ker(D) é o conjunto de todos os polinômios constantes e lineares.
Uma base para Ker(D) é, portanto:
1, x

Passo 4

Por fim, vamos determinar uma base para a imagem de D , ou seja, Im(D) . A imagem é o conjunto de todas as saídas de D , ou seja, todos os polinômios que podem ser escritos como p'' para algum p em P3(R) .
Vamos considerar o grau de p :
  • Se p é constante ou linear ( deg(p) <= 1 ), então p'' = 0 .
  • Se p é quadrático ( deg(p) = 2 ), então p'' é uma constante.
  • Se p é cúbico ( deg(p) = 3 ), então p'' é linear.
Portanto, Im(D) consiste em todos os polinômios de grau no máximo 1, ou seja, P1(R) .
Uma base para Im(D) é, assim como para o núcleo:
1, x

Resposta

A transformação D é linear. Uma base para Ker(D) é 1, x e uma base para Im(D) também é 1, x .

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