Determine a transformação linear T: P2(R) P2(R) tal que
T(1)=x, T(1-x)=1+x^2, T(1-x^2)=x+2 x^2

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
T: P2( R)to P2( R)
tendo-se
T(1)=x, T(1 - x)=1 + x^2, T(1 - x^2)=x + 2x^2
Queremos achar uma fórmula para T em um polinômio genérico p(x)=a + b,x + c,x^2.

Passo 2

Usando linearidade em
,1 - x,
T(1 - x)=T(1)-T(x)=1 + x^2
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T(x)=T(1)-l(1 + x^2r)=x -1 -x^2=-1 + x - x^2

Passo 3

De modo semelhante, em
,1 - x^2,
T(1 - x^2)=T(1)-T(x^2)=x + 2x^2,
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T(x^2)=T(1)-l(x + 2x^2r)=x - x -2x^2=-2x^2

Passo 4

Para um polinômio genérico p(x)=a + b,x + c,x^2 vale
Tl(a + b,x + c,x^2r) =a,T(1)+b,T(x)+c,T(x^2)
Substituindo os resultados:
T(p)(x) &=a,(x)+b,(-1 + x - x^2)+c,(-2x^2) &=-b;+;(a+b),x;+;(-b-2c),x^2

Resposta

Para todo p(x)=a + b,x + c,x^2 em P2( R),
Tl(a + b,x + c,x^2r) =-b;+;(a+b),x;+;(-b-2c),x^2

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