Sejam
e
dois espaços vetoriais, onde:
e a soma + e produto por um escalar • são os usuais em
.
Determine se as aplicações:
,
,
são transformações lineares. Podemos dizer que
? Justifique sua resposta.
Determine se as aplicações:
são transformações lineares. Podemos dizer que
Passo 1
Vamos resumir o que a gente tem aqui. Temos dois espaços vetoriais:
-
onde a soma entre dois números positivos é a multiplicação comum ( ) e o produto por um escalar é dado por para todo e . -
que é o espaço vetorial usual dos números reais com a soma e o produto por escalar que a gente conhece.
A gente quer saber se a aplicação
, definida por
, é uma transformação linear. Além disso, queremos entender se podemos dizer que
é isomorfo a
, ou seja, se eles são estruturalmente equivalentes como espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
entre dois espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
-
Preservação da soma: Para todo
no espaço de partida, . -
Preservação do produto por escalar: Para todo escalar
e todo no espaço de partida, .
Vamos verificar se a aplicação
satisfaz essas duas propriedades.
Passo 3
Verificando a preservação da soma:
Queremos ver se
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Vemos que
. Então, a propriedade da soma é satisfeita.
Passo 4
Verificando a preservação do produto por escalar:
Queremos ver se
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Novamente, temos que
. Então, a propriedade do produto por escalar também é satisfeita.
Passo 5
Como a aplicação
satisfaz tanto a preservação da soma quanto do produto por escalar, concluímos que
é uma transformação linear entre os espaços vetoriais
e
.
Agora, vamos responder à segunda parte da questão:
?
Dois espaços vetoriais são isomorfos, ou seja,
, se existe uma transformação linear bijetora entre eles. Já mostramos que
é uma transformação linear. Além disso, a função
é injetora (cada
tem uma imagem única) e sobrejetora (todo número positivo pode ser escrito como
para algum
real). Portanto,
é uma isomorfismo.
Resposta
Sim, a aplicação
é uma transformação linear entre
e
, e podemos afirmar que
porque existe um isomorfismo linear entre eles.