Sejam (R^+, oplus, odot) e (R,+, cdot) dois espaços vetoriais, onde:
u oplus v=u v, lambda odot u=u^lambda forall u, v in R^+, forall lambda in R
e a soma + e produto por um escalar • são os usuais em R.
Determine se as aplicações:
S: R R^+, com S(x)=e^x,
são transformações lineares. Podemos dizer que R^+ cong R? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem aqui. Temos dois espaços vetoriais:
  1. (R^+, oplus, odot) onde a soma oplus entre dois números positivos é a multiplicação comum ( u oplus v = u cdot v) e o produto por um escalar odot é dado por u^lambda para todo u > 0 e lambda in R.
  2. (R, +, cdot) que é o espaço vetorial usual dos números reais com a soma e o produto por escalar que a gente conhece.
A gente quer saber se a aplicação S: R R^+, definida por S(x) = e^x, é uma transformação linear. Além disso, queremos entender se podemos dizer que R^+ é isomorfo a R, ou seja, se eles são estruturalmente equivalentes como espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função T entre dois espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Preservação da soma: Para todo x, y no espaço de partida, T(x + y) = T(x) oplus T(y).
  2. Preservação do produto por escalar: Para todo escalar lambda e todo x no espaço de partida, T(lambda cdot x) = lambda odot T(x).
Vamos verificar se a aplicação S(x) = e^x satisfaz essas duas propriedades.

Passo 3

Verificando a preservação da soma:
Queremos ver se S(x + y) = S(x) oplus S(y).
Calculando o lado esquerdo:
S(x + y) = e^x + y = e^x cdot e^y
Calculando o lado direito:
S(x) oplus S(y) = e^x oplus e^y = e^x cdot e^y
Vemos que S(x + y) = S(x) oplus S(y). Então, a propriedade da soma é satisfeita.

Passo 4

Verificando a preservação do produto por escalar:
Queremos ver se S(lambda cdot x) = lambda odot S(x).
Calculando o lado esquerdo:
S(lambda cdot x) = e^lambda x
Calculando o lado direito:
lambda odot S(x) = (e^x)^lambda = e^lambda x
Novamente, temos que S(lambda cdot x) = lambda odot S(x). Então, a propriedade do produto por escalar também é satisfeita.

Passo 5

Como a aplicação S(x) = e^x satisfaz tanto a preservação da soma quanto do produto por escalar, concluímos que S é uma transformação linear entre os espaços vetoriais (R, +, cdot) e (R^+, oplus, odot).
Agora, vamos responder à segunda parte da questão: R^+ cong R?
Dois espaços vetoriais são isomorfos, ou seja, V cong W, se existe uma transformação linear bijetora entre eles. Já mostramos que S é uma transformação linear. Além disso, a função S(x) = e^x é injetora (cada x tem uma imagem única) e sobrejetora (todo número positivo pode ser escrito como e^x para algum x real). Portanto, S é uma isomorfismo.

Resposta

Sim, a aplicação S(x) = e^x é uma transformação linear entre R e R^+, e podemos afirmar que R^+ cong R porque existe um isomorfismo linear entre eles.

Exercícios relacionados