Generalizando a pergunta anterior: sejam , considere definida como onde representa a derivada de ordem do polinômio p. Mostre que é uma transformação linear. Determine a matriz associada à transformação linear .
Passo 1
Beleza, então vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que mostrar que a transformação , que pega um polinômio e retorna a sua m-ésima derivada, é uma transformação linear. Depois, vamos descobrir qual é a matriz que representa essa transformação linear. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios, derivadas e transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma transformação entre dois espaços vetoriais é linear se ela respeita duas propriedades:
Adição: para todos os vetores e .
Multiplicação por escalar: para todo escalar e vetor .
No nosso caso, leva um polinômio e retorna a sua m-ésima derivada .
Passo 3
Vamos verificar se satisfaz as duas propriedades de uma transformação linear.
1. Adição:
Se temos dois polinômios e , então:
Isso mostra que respeita a adição.
2. Multiplicação por escalar:
Para um escalar e um polinômio :
Isso mostra que respeita a multiplicação por escalar.
Como respeita ambas as propriedades, concluímos que é uma transformação linear.
Passo 4
Agora, vamos determinar a matriz associada a . Para isso, vamos usar a base canônica de , que é .
Vamos aplicar a cada elemento dessa base e expressar o resultado novamente na base canônica.
1. Aplicando a cada base:
(porque a derivada de uma constante é zero)
se , ou
se , ou se
E assim por diante, até se , ou se
2. Montando a matriz:
A matriz de será uma matriz onde cada coluna corresponde à imagem dos vetores da base canônica sob .
Cada entrada da matriz na posição será o coeficiente de na derivada m-ésima de .
Matematicamente, temos:
Isso significa que a matriz terá elementos não nulos apenas em posições que estão m passos abaixo da diagonal principal.
Resposta
A transformação Dm é linear, e a matriz associada a Dm na base canônica de Pn(R) é uma matriz (n+1) times (n+1) onde o elemento Ai,j é dado por:
Ai,j = (j-1)!(j-1-m)! & se j-1 >= m e i = j - m + 1 0 & caso contrário á
Ou seja, a matriz possui elementos não nulos somente em posições m passos abaixo da diagonal principal, correspondendo aos coeficientes das derivadas m-ésimas dos polinômios da base canônica.