Generalizando a pergunta anterior: sejam m, n in N, considere Dm: Pn(R) Pn(R) definida como D(p)=p^(m) onde p^(m) representa a derivada de ordem m do polinômio p. Mostre que Dm é uma transformação linear. Determine a matriz associada à transformação linear Dm.

Passo 1

Beleza, então vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que mostrar que a transformação Dm , que pega um polinômio e retorna a sua m-ésima derivada, é uma transformação linear. Depois, vamos descobrir qual é a matriz que representa essa transformação linear. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios, derivadas e transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma transformação T entre dois espaços vetoriais é linear se ela respeita duas propriedades:
  1. Adição: T(u + v) = T(u) + T(v) para todos os vetores u e v .
  2. Multiplicação por escalar: T(c cdot u) = c cdot T(u) para todo escalar c e vetor u .
No nosso caso, Dm leva um polinômio p e retorna a sua m-ésima derivada p^(m) .

Passo 3

Vamos verificar se Dm satisfaz as duas propriedades de uma transformação linear.
1. Adição:
Se temos dois polinômios p e q , então:
Dm(p + q) = (p + q)^(m) = p^(m) + q^(m) = Dm(p) + Dm(q)
Isso mostra que Dm respeita a adição.
2. Multiplicação por escalar:
Para um escalar c e um polinômio p :
Dm(c cdot p) = (c cdot p)^(m) = c cdot p^(m) = c cdot Dm(p)
Isso mostra que Dm respeita a multiplicação por escalar.
Como Dm respeita ambas as propriedades, concluímos que Dm é uma transformação linear.

Passo 4

Agora, vamos determinar a matriz associada a Dm . Para isso, vamos usar a base canônica de Pn(R) , que é 1, x, x^2, ldots, x^n .
Vamos aplicar Dm a cada elemento dessa base e expressar o resultado novamente na base canônica.
1. Aplicando Dm a cada base:
  • Dm(1) = 0 (porque a derivada de uma constante é zero)
  • Dm(x) = 0 se m >= 2 , ou D1(x) = 1
  • Dm(x^2) = 2! se m = 2 , ou Dm(x^2) = 0 se m > 2
  • E assim por diante, até Dm(x^n) = n!(n-m)! x^n-m se m <= n , ou 0 se m > n
2. Montando a matriz:
A matriz de Dm será uma matriz (n+1) times (n+1) onde cada coluna corresponde à imagem dos vetores da base canônica sob Dm .
Cada entrada da matriz A na posição (i, j) será o coeficiente de x^i-1 na derivada m-ésima de x^j-1 .
Matematicamente, temos:
Ai,j = (j-1)!(j-1-m)! & se j-1 >= m e i = j - m + 1 0 & caso contrário á
Isso significa que a matriz terá elementos não nulos apenas em posições que estão m passos abaixo da diagonal principal.

Resposta

A transformação Dm é linear, e a matriz associada a Dm na base canônica de Pn(R) é uma matriz (n+1) times (n+1) onde o elemento Ai,j é dado por:
Ai,j = (j-1)!(j-1-m)! & se j-1 >= m e i = j - m + 1 0 & caso contrário á
Ou seja, a matriz possui elementos não nulos somente em posições m passos abaixo da diagonal principal, correspondendo aos coeficientes das derivadas m-ésimas dos polinômios da base canônica.

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