Dado m=p_{1}^{\alpha_{1}} \cdot p_{2}^{\alpha_{2}} \ldots p_{r}^{\alpha_{r}}, com p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{r} primos positivos e \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{r} inteiros não negativos. Mostre que o número de divisores positivos de m é igual
\left(\alpha_{1}+1\right) \cdot\left(\alpha_{2}+1\right) \cdots\left(\alpha_{r}+1\right) .
Quantos são os divisores positivos de 11016 ?

Passo 1

O enunciado nos dá um inteiro
m = p_{1}^{\alpha_{1}}\cdot p_{2}^{\alpha_{2}}\cdots p_{r}^{\alpha_{r}},
onde cada p_i é primo e cada \alpha_i é inteiro não negativo, e pede para mostrar que o número de divisores positivos de m é
(\alpha_{1}+1)\,(\alpha_{2}+1)\cdots(\alpha_{r}+1),
e depois aplicar isso a m=11016. O conteúdo aqui é a contagem de divisores via fatoração prima.

Passo 2

Para provar a fórmula geral, note que todo divisor positivo d de m deve ter forma
d = p_{1}^{e_{1}}\cdot p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{r}^{e_{r}},
onde cada expoente e_i satisfaz 0 \le e_i \le \alpha_i. Para cada i há exatamente \alpha_i+1 escolhas de e_i, e essas escolhas são independentes. Pelo princípio da contagem, o total de divisores é
(\alpha_{1}+1)\,(\alpha_{2}+1)\cdots(\alpha_{r}+1).

Passo 3

Agora aplicamos a 11016. Vamos fatorar 11016 em primos:
11016 \div 2 = 5508,\quad 5508 \div 2 = 2754,\quad 2754 \div 2 = 1377,
logo 11016 = 2^{3}\times 1377. Em seguida,
1377 \div 3 = 459,\quad 459 \div 3 = 153,\quad 153 \div 3 = 51,\quad 51 \div 3 = 17,
logo 1377 = 3^{4}\times 17. Concluímos
11016 = 2^{3}\,3^{4}\,17^{1}.

Passo 4

Nosso m=11016 tem expoentes \alpha_{1}=3, \alpha_{2}=4, \alpha_{3}=1. Pelo resultado geral, o número de divisores positivos é
(3+1)\,(4+1)\,(1+1) = 4\cdot 5\cdot 2 = 40.

Resposta

40

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