Dado
, com
primos positivos e
inteiros não negativos. Mostre que o número de divisores positivos de
é igual
Quantos são os divisores positivos de 11016 ?
Passo 1
O enunciado nos dá um inteiro
onde cada
é primo e cada
é inteiro não negativo, e pede para mostrar que o número de divisores positivos de
é
e depois aplicar isso a
. O conteúdo aqui é a contagem de divisores via fatoração prima.
Passo 2
Para provar a fórmula geral, note que todo divisor positivo
de
deve ter forma
onde cada expoente
satisfaz
. Para cada
há exatamente
escolhas de
, e essas escolhas são independentes. Pelo princípio da contagem, o total de divisores é
Passo 3
Agora aplicamos a
. Vamos fatorar 11016 em primos:
logo
. Em seguida,
logo
. Concluímos
Passo 4
Nosso
tem expoentes
,
,
. Pelo resultado geral, o número de divisores positivos é