Se um trabalhador recebe 510 reais de vale-alimentação, com valores de 20 reais ou 50 reais cada vale. De quantas formas o trabalhador pode receber esses vales de alimentação?
Passo 1
O enunciado diz que o trabalhador recebe no total
reais em vales de alimentação, sendo cada vale de
reais ou de
reais. Vamos definir duas variáveis inteiras não negativas:
= número de vales de
reais
= número de vales de
reais
Precisamos contar todas as soluções inteiras não negativas de
Precisamos contar todas as soluções inteiras não negativas de
Passo 2
Para simplificar, dividimos a equação inteira por
. Isso não altera o conjunto de soluções inteiras:
Passo 3
Queremos soluções inteiras de
. Observe que
é sempre par, logo
deve ter a mesma paridade de
, que é ímpar. Como
é ímpar exatamente quando
é ímpar, escrevemos
para algum inteiro
. Substituindo em
:
Passo 4
Temos então a solução geral parametrizada por
:
Impondo
e
:
dá
⇒
, isto é
.
dá
⇒
, isto é
(inteiro).
Logo , são cinco valores possíveis.
Logo
Resposta
O trabalhador pode receber os vales de alimentação de 5 formas distintas.