Se um trabalhador recebe 510 reais de vale-alimentação, com valores de 20 reais ou 50 reais cada vale. De quantas formas o trabalhador pode receber esses vales de alimentação?

Passo 1

O enunciado diz que o trabalhador recebe no total \displaystyle 510 reais em vales de alimentação, sendo cada vale de \displaystyle 20 reais ou de \displaystyle 50 reais. Vamos definir duas variáveis inteiras não negativas: x = número de vales de 20 reais y = número de vales de 50 reais
Precisamos contar todas as soluções inteiras não negativas de
20x + 50y = 510.

Passo 2

Para simplificar, dividimos a equação inteira por 10. Isso não altera o conjunto de soluções inteiras:
2x + 5y = 51.

Passo 3

Queremos soluções inteiras de 2x + 5y = 51. Observe que 2x é sempre par, logo 5y deve ter a mesma paridade de 51, que é ímpar. Como 5y é ímpar exatamente quando y é ímpar, escrevemos
y = 2k + 1,
para algum inteiro k. Substituindo em 2x + 5y = 51:
2x + 5(2k+1) = 51 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 10k + 5 = 51 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 46 - 10k \quad\Longrightarrow\quad x = 23 - 5k.

Passo 4

Temos então a solução geral parametrizada por k:
y = 2k + 1, \qquad x = 23 - 5k.
Impondo x\ge0 e y\ge0: x\ge0 23 - 5k \ge 0 k \le 4,6, isto é k \le 4. y\ge0 2k+1\ge0 k\ge -\tfrac12, isto é k\ge0 (inteiro).
Logo k\in\{0,1,2,3,4\}, são cinco valores possíveis.

Resposta

O trabalhador pode receber os vales de alimentação de 5 formas distintas.

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