Quais inteiros positivos têm exatamente três divisores positvos? Quais inteiros positivos têm exatamente quatro divisores positvos?

Passo 1

O enunciado pede para caracterizar todos os inteiros positivos que têm exatamente três divisores positivos e todos os que têm exatamente quatro divisores positivos. O conteúdo principal aqui é a função contadora de divisores \tau(n) e o fato de que, se
n = \prod_{i=1}^{k} p_i^{a_i}
é a fatoração de n em primos, então
\tau(n) = \prod_{i=1}^{k} (a_i + 1).
Vamos usar esse resultado para resolver cada caso.

Passo 2

Aplicamos a fórmula \tau(n)=\prod_{i=1}^{k}(a_i+1). Precisamos encontrar todas as maneiras de obter
\tau(n)=3
e
\tau(n)=4
como produto de inteiros maiores ou iguais a 1, lembrando que cada fator corresponde a um a_i+1.

Passo 3

Para \tau(n)=3 temos que fatorar 3 como produto de inteiros \ge1. A única fatoração é
3 = 3,
isto é, deve existir exatamente um primo na fatoração de n e esse primo deve aparecer com expoente a tal que a+1=3. Logo a=2 e
n = p^2,
com p primo. Concluímos que os inteiros positivos com exatamente três divisores positivos são os quadrados de primos.

Passo 4

Para \tau(n)=4 procuramos todas as fatorações de 4 em inteiros \ge1. Há duas possibilidades:
  1. 4 = 4, o que exige um único primo com a+1=4, ou seja, a=3 e
n = p^3.
  1. 4 = 2 \times 2, o que exige dois primos distintos cada um com expoente 1, pois 1+1=2. Assim
n = p \,q,
com p e q primos distintos. Portanto, os inteiros com exatamente quatro divisores positivos são ou cubos de primo p^3 ou produtos de dois primos distintos p\,q.

Resposta

Os inteiros positivos com exatamente três divisores são os p^2, onde p é primo.
Os inteiros positivos com exatamente quatro divisores são os p^3 e os p\,q, com p e q primos distintos.

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