Quais inteiros positivos têm exatamente três divisores positvos? Quais inteiros positivos têm exatamente quatro divisores positvos?
Passo 1
O enunciado pede para caracterizar todos os inteiros positivos que têm exatamente três divisores positivos e todos os que têm exatamente quatro divisores positivos. O conteúdo principal aqui é a função contadora de divisores
e o fato de que, se
é a fatoração de
em primos, então
Vamos usar esse resultado para resolver cada caso.
Passo 2
Aplicamos a fórmula
. Precisamos encontrar todas as maneiras de obter
e
como produto de inteiros maiores ou iguais a 1, lembrando que cada fator corresponde a um
.
Passo 3
Para
temos que fatorar
como produto de inteiros
. A única fatoração é
isto é, deve existir exatamente um primo na fatoração de
e esse primo deve aparecer com expoente
tal que
. Logo
e
com
primo. Concluímos que os inteiros positivos com exatamente três divisores positivos são os quadrados de primos.
Passo 4
Para
procuramos todas as fatorações de
em inteiros
. Há duas possibilidades:
-
, o que exige um único primo com , ou seja, e
-
, o que exige dois primos distintos cada um com expoente , pois . Assim
com
e
primos distintos. Portanto, os inteiros com exatamente quatro divisores positivos são ou cubos de primo
ou produtos de dois primos distintos
.
Resposta
Os inteiros positivos com exatamente três divisores são os
, onde
é primo.
Os inteiros positivos com exatamente quatro divisores são os e os
, com
e
primos distintos.
Os inteiros positivos com exatamente quatro divisores são os