Pode um funcional linear sobre os complexos assumir apenas valores reais?
Passo 1
Aqui a pergunta é: em um espaço vetorial sobre
, um funcional linear
poderia produzir apenas valores em
? Isso cai em álgebra linear, mais especificamente em funcionais lineares sobre corpos complexos. Vamos usar que para um funcional linear complexo vale
.
Passo 2
Suponha que
é linear sobre
e que para todo
temos
real. Pegue um vetor qualquer
. Então
é real.
Passo 3
Pela linearidade complexa,
. Se
for real e não nulo,
seria puramente imaginário, logo não poderia ser real, contradizendo a hipótese de que
é real. Portanto só resta a opção
para todo
.
Passo 4
Como
era arbitrário, concluímos que
é o funcional zero.
Resposta
Somente o funcional linear trivial (zero) pode assumir apenas valores reais.