Pode um funcional linear sobre os complexos assumir apenas valores reais?

Passo 1

Aqui a pergunta é: em um espaço vetorial sobre , um funcional linear poderia produzir apenas valores em ? Isso cai em álgebra linear, mais especificamente em funcionais lineares sobre corpos complexos. Vamos usar que para um funcional linear complexo vale .

Passo 2

Suponha que é linear sobre e que para todo temos real. Pegue um vetor qualquer . Então é real.

Passo 3

Pela linearidade complexa, . Se for real e não nulo, seria puramente imaginário, logo não poderia ser real, contradizendo a hipótese de que é real. Portanto só resta a opção para todo .

Passo 4

Como era arbitrário, concluímos que é o funcional zero.

Resposta

Somente o funcional linear trivial (zero) pode assumir apenas valores reais.

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