1. Dado arbitrariamente a \in(0,1], prove que existem x<y pertencentes ao conjunto de Cantor, tais que y-x=a.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dado qualquer a\in(0,1], existem dois pontos x<y no conjunto de Cantor C tais que
y - x = a.
Aqui vamos usar a construção iterativa do conjunto de Cantor:
C_{0} = [0,1],\qquad C_{n+1} = \frac{1}{3}\,C_{n}\;\cup\;\Bigl(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\,C_{n}\Bigr),
e C=\bigcap_{n=0}^{\infty}C_{n}. A ideia é, em cada passo n, escolher um intervalo I_{n}\subset C_{n} para x e um intervalo J_{n}\subset C_{n} para y de modo que o conjunto de diferenças
B_{n}=\{\,y'-x'\mid x'\in I_{n},\,y'\in J_{n}\}
seja um intervalo fechado de comprimento 1/3^{n} contendo a. Daí passamos ao passo n+1 refinando esses intervalos, e no limite obtemos x,y\in C com y-x=a.

Passo 2

Defina para cada n
D_{n} \;=\; C_{n}-C_{n}\;=\;\{\,u-v\mid u,v\in C_{n}\}.
Mostra‐se por indução em n que
D_{n} \;=\;[-1,1] \quad\text{e que, além disso, }D_{n}\text{ é a união de }2\cdot3^{n}\text{ subintervalos de comprimento }1/3^{n}.ééã
Base n=1:
C_{1}=[0,\tfrac13]\cup[\tfrac23,1] \quad\Longrightarrow\quad D_{1}=[-1,1]
é a união dos seis subintervalos de comprimento 1/3.
Passo indutivo: usa a definição de C_{n+1} em função de C_{n} e a auto‐similaridade para ver que subdividir cada par de l~c³-blocos gera exatamente quatro vezes mais subintervalos de comprimento dividido por 3.

Passo 3

Como a\in(0,1]\subset D_{1}, existe um dos subintervalos de D_{1} de comprimento 1/3 que contém a. Esse subintervalo é
B_{1}=[\alpha_{1},\beta_{1}]\subset[-1,1],
e corresponde a escolher dois dos dois blocos de C_{1}, digamos
I_{1}\subset C_{1},\quad J_{1}\subset C_{1},
ambos com comprimento 1/3, tais que
B_{1} \;=\;\{\,y'-x'\mid x'\in I_{1},\,y'\in J_{1}\}.

Passo 4

Suponha que no passo n já temos dois intervalos
I_{n}\subset C_{n},\quad J_{n}\subset C_{n},
cada um de comprimento 1/3^{n}, e o respectivo
B_{n}=\{\,y'-x'\mid x'\in I_{n},\,y'\in J_{n}\}
é um subintervalo fechado de comprimento 1/3^{n} contendo a.
Para passar ao passo n+1, note que cada um de I_{n} e J_{n} se divide, na construção de C_{n+1}, em dois subintervalos de comprimento 1/3^{n+1}. Assim formam‐se quatro pares de subintervalos em C_{n+1}, cujos conjuntos de diferenças partem B_{n} em quatro pedaços iguais de comprimento 1/3^{n+1}. Como a\in B_{n}, ele cai em exatamente um desses quatro pedaços. Definimos I_{n+1} e J_{n+1} como os subintervalos que geram esse pedaço contendo a, e chamamos esse pedaço de B_{n+1}. Temos então
I_{n+1}\subset I_{n},\quad J_{n+1}\subset J_{n},\quad \mathrm{diam}(B_{n+1})=\frac1{3^{n+1}},\quad a\in B_{n+1}.

Passo 5

As sequências de intervalos (I_{n}) e (J_{n}) são decrescentes, seus comprimentos vão a zero e cada I_{n},J_{n} é fechado. Pelo teorema do ponto fixo de intervalos aninhados, existem pontos únicos
x \;=\; \bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n}, \quad y \;=\; \bigcap_{n=1}^{\infty} J_{n}.
Como cada I_{n},J_{n}\subset C_{n}, segue que x,y\in\bigcap_{n}C_{n}=C. Além disso, os extremos de B_{n} convergem para a, logo
y - x \;=\;\lim_{n\to\infty}\bigl(\max B_{n}\bigr) \;=\;a.

Resposta

Para todo a\in(0,1] construímos dois pontos x<y no conjunto de Cantor C tal que
y - x = a.

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